有朋友問過的題目，解完就ＰＯ上來紀錄一下。

臺灣師大數學系大學部申請入學歷屆考題（連結已失效h ttp://www.math.ntnu.edu.tw/admiss/recruit.php?Sn=6）
98筆試一

第 5 題：給定坐標平面上兩點A(06)、B(86)與一圓 :x2+y2=20。對於圓 上每一點 P ，令 OP 表示 ABP 的外心，試寫出全體外心所成的集合。



解答：

設 P(25cos25sin) ，

顯然 AB 的中垂線方程式為 x=4，

令 M 為 AP 的中點，則 M 坐標為 (5cos3+5sin) ，

−−AM 向量為 (5cos5sin−3) ，

AP 的中垂線方程式為 5cosx+5sin−3y=5cos5cos+5sin−35sin+3 ，

　　　　　　　　　　　　　5cosx+5sin−3y=−4 

將 x=4 帶入，可以找出 ABP 的外心的 y 坐標會滿足 45cos+y5sin=3y−4 

所以，利用 45cos+y5sin(45)2+(y5)2  （還是用疊合來說明也一樣），

　　　可得 3y−4(45)2+(y5)2−2y8 

故， ABP 的全體外心所成的集合為 (xy)x=4−2y8 

從外接圓的觀點來看，就是要通過A、B兩點，而且跟圓O有交點，
所以只要找出圓心在x=4上，且與圓O內切外切的圓心坐標，就好了。

引用:

原帖由 老王 於 2011-3-21 06:06 PM 發表
從外接圓的觀點來看，就是要通過A、B兩點，而且跟圓O有交點，
所以只要找出圓心在x=4上，且與圓O內切外切的圓心坐標，就好了。

Follow 老王老師的想法，

設 ABC 外接圓的圓心為 (4t)，可以列出兩個式子

外切時：42+y−62+25=42+y2y=8 

內切時：\sqrt{4^2+\left(y-6\right)^2}-2\sqrt{5}=\sqrt{4^2+y^2}\Rightarrow y=-2

故，所求=\left\{(x,y)\Big| x=4, -2\leq y\leq8\right\}.

感謝老王老師。





列完才發現，這兩種情況剛好是~~

以 (0,0) ,(0,6) 為焦點且 2\sqrt{5} 貫軸長的雙曲線，與 x=4 的交點。

也就是解聯立方程式 \displaystyle\left\{\begin{array}{ccc}\displaystyle-\frac{x^2}{4}+\frac{\left(y-3\right)^2}{5}&=1\\x&=4\end{array}\right.\Rightarrow y=-2,\mbox{ or }8.

^^~