令\(f_1(x)=\sqrt{1-x}\)，當\(n\)為整數且\(n\ge 2\)，定義\(f_n(x)=f_{n-1}(\sqrt{n^2-x})\)。若\(N\)是\(n\)中最大的數使得\(f_n\)的定義域不是空集合，且\(f_N\)的定義域是\(\{\;c \}\;\)，則\(N+c\)之值為多少？
(A)\(-226\)　(B)\(-144\)　(C)\(-20\)　(D)20　(E)144

答案不確定是否為(A)

看起沒有什麼特別的，就直接做而已

令 \( D_{n} \) 為函數 \( f_{n}(x) \) 的定義域

\( f_{1}(x)=\sqrt{1-x}, D_{1}=(-\infty,1] \)

\( f_{2}(x)=f_{1}(\sqrt{4-x}) \)

\( x\in D_{2}\Leftrightarrow\sqrt{4-x}\in D_{1} \) 且 \( 4-x\geq0 \Leftrightarrow0\le4-x\le1 \)。

故 \( D_{2}=[3,4] \)。

\( f_{3}(x)=f_{2}(\sqrt{9-x}) \)

\( x\in D_{3}\Leftrightarrow\sqrt{9-x}\in D_{2} \) 且 \( 9-x\geq0 \Leftrightarrow9\le9-x\le16 \)。

故 \( D_{3}=[-7,0] \)

\( f_{4}(x)=f_{3}(\sqrt{16-x}) \)

\( x\in D_{4}\Leftrightarrow\sqrt{16-x}\in D_{3} \) 且 \( 16-x\geq0 \Leftrightarrow16-x=0 \)。

故 \( D_{4}=\{16\} \)。

\( f_{5}(x)=f_{4}(\sqrt{25-x}) \)

\( x\in D_{5}\Leftrightarrow\sqrt{25-x}\in D_{4} \) 且 \( 25-x\geq0 \Leftrightarrow x=5^{2}-16^{2}=-231 \)。

故 \( D_{5}=\{-231\} \)。

不存在實數 \( x \) 使得 \( \sqrt{6^{2}-x}=-231 \)，故 \( D_{6}=\emptyset \)，因此當 \( n\geq 6 \) 時，\( D_n \) 均為空集合。

故所求 \( = 5 - 231 = -226 \)

謝謝您, 一語驚醒夢中人