第 7 題:
設1<a<b<c<30,a、b、c為整數,將1、a、b、c四個數兩兩相加,其和由小而大排序可形成六個數的等差數列,且總和為201,則下列敘述何者正確?
(A)b-a=9 (B)c-a=14 (C)a+b=37 (D)b+c=51 (E)a+b+c=65
[解答]
將 1, a, b, c 任取兩數相加,可得
1+a, 1+b, 1+c, a+b, a+c, b+c 共六個數字,
此六數之和=3+3a+3b+3c=201
\Rightarrow a+b+c=66
因為 1<a<b<c,
所以 1+a<1+b<1+c 且 a+b<a+c<b+c
此六數由小到大排列所形成的等差數列可能為
1+a, 1+b, 1+c, a+b, a+c, b+c
或 1+a, 1+b, a+b, 1+c, a+c, b+c
case i: 若此由小到大的等差六數為 1+a, 1+b, 1+c, a+b, a+c, b+c
由公差=b-a=c-b=a+b-c-1 且 a+b+c=66
可解得 a=15, b=22, c=29
此等差六數為 16, 23, 30, 37, 44, 51
case ii: 若此由小到大的等差六數為 1+a, 1+b, a+b, 1+c, a+c, b+c
由公差=b-a=a-1=1+c-a-b 且 a+b+c=66
可解得 a=10, b=19, c=37
此組解不符合題意的 c<30