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95台中縣高中聯招

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95台中縣高中聯招

大家好~
想請問16題答案17題的(E)

原本給的答案:
16.  AB(覺得是BE)
17.  BD(想問E是否也對)

謝謝大家~
考題如附件

2011.3.13版主補充
花了些時間將題目重新輸入,給網友能將整份題目印出來練習,另外也讓google能搜尋到這份題目

[ 本帖最後由 bugmens 於 2011-6-30 07:51 PM 編輯 ]

附件

95年臺中縣高級中學教師聯合甄選數學科試題.rar (480.17 KB)

2011-3-12 18:13, 下載次數: 1887

95台中縣高中聯招.pdf (184.78 KB)

2011-3-13 06:54, 下載次數: 1760

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引用:
原帖由 milkie1013 於 2011-3-12 06:13 PM 發表
大家好~
想請問16題答案與17題的(E)

原本給的答案:
16.  AB(覺得是BE)
17.  BD(想問E是否也對)

謝謝大家~
考題如附件
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^__^


我這兩題都跟你的答案一樣,如下。  註:Ellipse 回文好快,感謝  ^___^ 。




第 16 題:為了完成一建大工程,僱請 \(1000\) 位工人恰可依照預定時間完成工作。這 \(1000\) 位工人一起工作,依照計畫完成了前 \(1/4\) 工程;接著,解僱了 \(100\) 位工人才繼續做第二個 \(1/4\) 的工程,所以這段工程進度落後;接著,再解雇 \(100\) 位工人才又繼續做第三個 \(1/4\) 的工程,但工程進度更為落後。假設每位工人的工作能力都一樣,試問在完成全部工程的第三個 \(1/4\) 之後,除了現有的 \(800\) 位工人外,最後的 \(1/4\) 工程至少應再增加 \(a\times 100+b\times 10+c\) 位工人才能如預定時程完工,\(a,b,c\) 為介於 \(0\sim 9\) 的整數,則下列敘述何者正確?(A)\(a=5\)(B)\(b=6\)(C)\(c=7\)(D)\(a+b=12\)(E)\(a+b+c=19\)

解答:

設最後 \(1/4\) 工程要增加的人數為 \(t\) 人,

假設原本預計 \(1000\) 人一起工作 \(A\) 天即可以完成全部的工程,

完成此工程需 \(1000A\) (人‧天)的工作量,

每 \(1/4\) 工程需要 \(250\) (人‧天)的工作量,

則 \(\displaystyle \frac{250A}{1000}+\frac{250A}{900}+\frac{250A}{800}+\frac{250A}{800+t}=A\)

  \(\Rightarrow t=765.217xxxx\)

  所以至少應再增加 \(766\) 人。







第 17 題:關於函數 \(\displaystyle f(x)=\sqrt{3}\sin\left(x+\frac{\pi}{6}\right)-2\sin x\),請問下列敘述何者正確?
(A)\(y=f(x)\) 的週期為 \(\pi\)
(B)\(y=f(x)\) 的震幅為 \(1\)
(C)\(y=f(x)\) 的最大值為 \(\sqrt{7}\)
(D)在 \(\displaystyle 0\leq x\leq \frac{\pi}{2}\),\(y=f(x)\) 的圖形為遞減
(E)將 \(y=\sin x\) 的圖形左移 \(\displaystyle \frac{2\pi}{3}\) 得 \(y=f(x)\) 的圖形

解答:

將 \(f(x)\) 由和角公式展開,再合併,可得 \(\displaystyle f(x)=\cos\left(x+\frac{\pi}{6}\right)=\sin\left(x+\frac{2\pi}{3}\right)\)。

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引用:
原帖由 Ellipse 於 2011-3-12 09:53 PM 發表


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謝謝~~

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回復 1# milkie1013 的帖子

想請問這份考題的4,7,18題,謝謝!

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第 4 題:

\(\displaystyle\tan\frac{\pi}{13}\tan\frac{2\pi}{13}\tan\frac{3\pi}{13}\cdots\tan\frac{6\pi}{13}\)

  \(\displaystyle=\frac{\displaystyle\sin\frac{\pi}{13}\sin\frac{2\pi}{13}\sin\frac{3\pi}{13}\cdots \sin\frac{6\pi}{13}
}{\displaystyle\cos\frac{\pi}{13}\cos\frac{2\pi}{13}\cos\frac{3\pi}{13}\cdots\cos\frac{6\pi}{13}}\)

  \(\displaystyle=\frac{\displaystyle\frac{\sqrt{13}}{2^6}}{\displaystyle\frac{1}{2^6}}\)

  \(=\sqrt{13}.\)

註:

\(\displaystyle\sin\frac{\pi}{2n+1}\sin\frac{2\pi}{2n+1}\sin\frac{3\pi}{2n+1}\cdots \sin\frac{n\pi}{2n+1}=\frac{\sqrt{2n+1}}{2^n}.\)

\(\displaystyle\cos\frac{\pi}{2n+1}\cos\frac{2\pi}{2n+1}\cos\frac{3\pi}{2n+1}\cdots\cos\frac{n\pi}{2n+1}=\frac{1}{2^n}.\)

\(\displaystyle\sin\frac{\pi}{2n}\sin\frac{2\pi}{2n}\sin\frac{3\pi}{2n}\cdots \sin\frac{(n-1)\pi}{2n}=\frac{\sqrt{n}}{2^{n-1}}.\)

\(\displaystyle\cos\frac{\pi}{2n}\cos\frac{2\pi}{2n}\cos\frac{3\pi}{2n}\cdots\cos\frac{(n-1)\pi}{2n}=\frac{\sqrt{n}}{2^{n-1}}.\)

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第 18 題:

令 \(\displaystyle a=\frac{x}{x+y}, b=\frac{y}{x+y},\)

則 \(a+b=1\) 且 \(\displaystyle ab=\frac{xy}{x^2+2xy+y^2}=\frac{xy}{xy+\left(x^2+xy+y^2\right)}=1\)

  \(\Rightarrow a,b\) 為 \(x\) 的一元二次方程式 \(x^2-(a+b)x+ab=0\) 的兩根,

  亦即 \(a,b\) 為 \(x\) 的一元二次方程式 \(x^2-x+1=0\) 的兩根,

若令 \(\displaystyle \omega=\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}\),則

  \((a,b)=(-\omega,-\omega^2)\) 或 \((a,b)=(-\omega^2,-\omega)\)

  \(\displaystyle S_n=a^n+b^n=\left(-\omega\right)^n+\left(-\omega^2\right)^n\)

故,

  \(\displaystyle S_{3k}=2\cdot(-1)^k, S_{3k+1}=(-1)^k, S_{3k+2}=(-1)^{k+1}\)

因此,

  \(S_{6k}+S_{6k+1}+S_{6k+2}+S_{6k+3}+S_{6k+4}+S_{6k+5}=0\)

  \(\displaystyle \sum_{i=1}^{2006}S_k=S_1+S_2+0\times 334=S_1+S_2=1-1=0\)




另解,

也可以利用

\(S_{n+2}=a^{n+2}+b^{n+2}\)

  \(=\left(a+b\right)\left(a^{n+1}+b^{n+1}\right)-ab\left(a^n+b^n\right)\)

  \(=S_{n+1}-S_{n}\)

然後搭配另外找出的前兩項,得知 \(S_n\) 每六項一循環。

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第 7 題:

將 \(1, a, b, c\) 任取兩數相加,可得

     \(1+a, 1+b, 1+c, a+b, a+c, b+c\) 共六個數字,

此六數之和\(=3+3a+3b+3c=201\)

     \(\Rightarrow a+b+c=66\)

因為 \(1<a<b<c,\)

所以 \(1+a<1+b<1+c\) 且 \(a+b<a+c<b+c\)

此六數由小到大排列所形成的等差數列可能為

    \(1+a, 1+b, 1+c, a+b, a+c, b+c\)

    或 \(1+a, 1+b, a+b, 1+c, a+c, b+c\)



case i: 若此由小到大的等差六數為 \(1+a, 1+b, 1+c, a+b, a+c, b+c\)

    由公差\(=b-a=c-b=a+b-c-1\) 且 \(a+b+c=66\)

    可解得 \(a=15, b=22, c=29\)

    此等差六數為 \(16, 23, 30, 37, 44, 51\)

case ii: 若此由小到大的等差六數為 \(1+a, 1+b, a+b, 1+c, a+c, b+c\)

    由公差\(=b-a=a-1=1+c-a-b\) 且 \(a+b+c=66\)

    可解得 \(a=10, b=19, c=37\)

    此組解不符合題意的 \(c<30\)

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回復 6# weiye 的帖子

謝謝瑋岳快速解答完三解,有被秒殺的感覺!

想請問第四題您附的四個正餘弦公式,
正弦的兩個公式,數學101有證明,
那餘弦的兩公式,是如何證得?

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回復 9# aonzoe 的帖子

第一部份:

\(\displaystyle\sin\frac{\pi}{2n+1}\sin\frac{2\pi}{2n+1}\sin\frac{3\pi}{2n+1}\cdots \sin\frac{n\pi}{2n+1}=\frac{\sqrt{2n+1}}{2^n}.\)

\(\displaystyle\cos\frac{\pi}{2n+1}\cos\frac{2\pi}{2n+1}\cos\frac{3\pi}{2n+1}\cdots\cos\frac{n\pi}{2n+1}=\frac{1}{2^n}.\)



設 \(\displaystyle \omega=\cos\frac{2\pi}{2n+1}+i\sin\frac{2\pi}{2n+1}\),

則 \(\displaystyle (x-\omega)(x-\omega^2)\cdots(x-\omega^{2n})=\frac{x^{2n+1}-1}{x-1}\)

                  \(\displaystyle =x^{2n}+x^{2n-1}+\cdots+x+1\)


  \(\displaystyle \left|\left(x-\omega\right)\left(x-\omega^2\right)\cdots\left(x-\omega^{2n}\right)\right|=\left|x^{2n}+x^{2n-1}+\cdots+x+1\right|\) ‧‧‧(*)


將 \(x=1\) 帶入(*),可得

  \(\displaystyle \left|\left(1-\omega\right)\left(1-\omega^2\right)\cdots\left(1-\omega^{2n}\right)\right|=2n+1\)

又因為 \(\displaystyle \left|1-\omega^k\right|=\left|1-\cos\frac{2k\pi}{2n+1}-i\sin\frac{2k\pi}{2n+1}\right|\)

           \(\displaystyle =\left|2\sin^2\frac{k\pi}{2n+1}-2i\sin\frac{k\pi}{2n+1}\cos\frac{k\pi}{2n+1}\right|\)

           \(\displaystyle =2\sin\frac{k\pi}{2n+1}\left|\sin\frac{k\pi}{2n+1}-i\cos\frac{k\pi}{2n+1}\right|\)

           \(\displaystyle =2\sin\frac{k\pi}{2n+1}, \forall k=1,2,\cdots,2n\)

所以,

  \(\displaystyle \left|\left(1-\omega\right)\left(1-\omega^2\right)\cdots\left(1-\omega^{2n}\right)\right|=2n+1\)

  \(\displaystyle \Rightarrow 2\sin\frac{\pi}{2n+1}\cdot2\sin\frac{2\pi}{2n+1}\cdot2\sin\frac{3\pi}{2n+1}\cdots2\sin\frac{2n\pi}{2n+1}=2n+1\)

  \(\displaystyle \Rightarrow 2^{2n}\left(\sin\frac{\pi}{2n+1}\sin\frac{2\pi}{2n+1}\sin\frac{3\pi}{2n+1}\cdots\sin\frac{n\pi}{2n+1}\right)^2=2n+1\)

  \(\displaystyle \Rightarrow \sin\frac{\pi}{2n+1}\sin\frac{2\pi}{2n+1}\sin\frac{3\pi}{2n+1}\cdots\sin\frac{n\pi}{2n+1}=\frac{\sqrt{2n+1}}{2^n}\)




將 \(x=-1\) 帶入(*),可得

  \(\displaystyle \left|\left(1+\omega\right)\left(1+\omega^2\right)\cdots\left(1+\omega^{2n}\right)\right|=1\)

又因為 \(\displaystyle \left|1+\omega^k\right|=\left|1+\cos\frac{2k\pi}{2n+1}+i\sin\frac{2k\pi}{2n+1}\right|\)

           \(\displaystyle =\left|2\cos^2\frac{k\pi}{2n+1}+2i\sin\frac{k\pi}{2n+1}\cos\frac{k\pi}{2n+1}\right|\)

           \(\displaystyle =2\left|\cos\frac{k\pi}{2n+1}\right|\left|\cos\frac{k\pi}{2n+1}+i\sin\frac{k\pi}{2n+1}\right|\)

           \(\displaystyle =2\left|\cos\frac{k\pi}{2n+1}\right|, \forall k=1,2,\cdots,2n\)

所以,

  \(\displaystyle \left|\left(1+\omega\right)\left(1+\omega^2\right)\cdots\left(1+\omega^{2n}\right)\right|=1\)

  \(\displaystyle \Rightarrow \left|2\cos\frac{\pi}{2n+1}\cdot2\cos\frac{2\pi}{2n+1}\cdot2\cos\frac{3\pi}{2n+1}\cdots2\cos\frac{2n\pi}{2n+1}\right|=1\)

  \(\displaystyle \Rightarrow 2^{2n}\left(\cos\frac{\pi}{2n+1}\cos\frac{2\pi}{2n+1}\cos\frac{3\pi}{2n+1}\cdots\cos\frac{n\pi}{2n+1}\right)^2=1\)

  \(\displaystyle \Rightarrow \cos\frac{\pi}{2n+1}\cos\frac{2\pi}{2n+1}\cos\frac{3\pi}{2n+1}\cdots\cos\frac{n\pi}{2n+1}=\frac{1}{2^n}\)






第二部份:

\(\displaystyle\sin\frac{\pi}{2n}\sin\frac{2\pi}{2n}\sin\frac{3\pi}{2n}\cdots \sin\frac{(n-1)\pi}{2n}=\frac{\sqrt{n}}{2^{n-1}}.\)

\(\displaystyle\cos\frac{\pi}{2n}\cos\frac{2\pi}{2n}\cos\frac{3\pi}{2n}\cdots\cos\frac{(n-1)\pi}{2n}=\frac{\sqrt{n}}{2^{n-1}}.\)



設 \(\displaystyle \omega=\cos\frac{2\pi}{2n}+i\sin\frac{2\pi}{2n}\),

則 \(\displaystyle (x-\omega)(x-\omega^2)\cdots(x-\omega^{2n-1})=\frac{x^{2n}-1}{x-1}\)

                  \(\displaystyle =x^{2n-1}+x^{2n-2}+\cdots+x+1\)


  \(\displaystyle \left|\left(x-\omega\right)\left(x-\omega^2\right)\cdots\left(x-\omega^{2n-1}\right)\right|=\left|x^{2n-1}+x^{2n-2}+\cdots+x+1\right|\) ‧‧‧(**)


將 \(x=1\) 帶入(**),可得

  \(\displaystyle \left|\left(1-\omega\right)\left(1-\omega^2\right)\cdots\left(1-\omega^{2n-1}\right)\right|=2n\)

又因為 \(\displaystyle \left|1-\omega^k\right|=\left|1-\cos\frac{2k\pi}{2n}-i\sin\frac{2k\pi}{2n}\right|\)

           \(\displaystyle =\left|2\sin^2\frac{k\pi}{2n}-2i\sin\frac{k\pi}{2n}\cos\frac{k\pi}{2n}\right|\)

           \(\displaystyle =2\sin\frac{k\pi}{2n}\left|\sin\frac{k\pi}{2n}-i\cos\frac{k\pi}{2n}\right|\)

           \(\displaystyle =2\sin\frac{k\pi}{2n}, \forall k=1,2,\cdots,2n-1\)

所以,

  \(\displaystyle \left|\left(1-\omega\right)\left(1-\omega^2\right)\cdots\left(1-\omega^{2n-1}\right)\right|=2n\)

  \(\displaystyle \Rightarrow 2\sin\frac{\pi}{2n}\cdot2\sin\frac{2\pi}{2n}\cdot2\sin\frac{3\pi}{2n}\cdots2\sin\frac{(2n-1)\pi}{2n}=2n\)

  \(\displaystyle \Rightarrow 2^{2n-1}\left(\sin\frac{\pi}{2n}\sin\frac{2\pi}{2n}\sin\frac{3\pi}{2n}\cdots\sin\frac{(n-1)\pi}{2n}\right)^2\sin\frac{n\pi}{2n}=2n\)

  \(\displaystyle \Rightarrow \sin\frac{\pi}{2n}\sin\frac{2\pi}{2n}\sin\frac{3\pi}{2n}\cdots\sin\frac{(n-1)\pi}{2n}=\frac{\sqrt{n}}{2^{n-1}}\)



而且

  \(\displaystyle \cos\frac{\pi}{2n}\cos\frac{2\pi}{2n}\cos\frac{3\pi}{2n}\cdots\cos\frac{(n-1)\pi}{2n}\)

    \(\displaystyle =\sin\left(\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{2n}\right)\sin\left(\frac{\pi}{2}-\frac{2\pi}{2n}\right)\sin\left(\frac{\pi}{2}-\frac{3\pi}{2n}\right)\cdots\sin\left(\frac{\pi}{2}-\frac{(n-1)\pi}{2n}\right)\)

    \(\displaystyle =\sin\frac{(n-1)\pi}{2n}\sin\frac{(n-2)\pi}{2n}\sin\frac{(n-3)\pi}{2n}\cdots\sin\frac{\pi}{2n}\)

    \(\displaystyle =\frac{\sqrt{n}}{2^{n-1}}\)

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