大家好~
想請問16題答案與17題的(E)

原本給的答案:
16.  AB(覺得是BE)
17.  BD(想問E是否也對)

謝謝大家~
考題如附件

2011.3.13版主補充
花了些時間將題目重新輸入，給網友能將整份題目印出來練習，另外也讓google能搜尋到這份題目

引用:

原帖由 milkie1013 於 2011-3-12 06:13 PM 發表
大家好~
想請問16題答案與17題的(E)

原本給的答案:
16.  AB(覺得是BE)
17.  BD(想問E是否也對)

謝謝大家~
考題如附件

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^__^


我這兩題都跟你的答案一樣，如下。　　註：Ellipse 回文好快，感謝  ^___^ 。




第 16 題：為了完成一建大工程，僱請 \(1000\) 位工人恰可依照預定時間完成工作。這 \(1000\) 位工人一起工作，依照計畫完成了前 \(1/4\) 工程；接著，解僱了 \(100\) 位工人才繼續做第二個 \(1/4\) 的工程，所以這段工程進度落後；接著，再解雇 \(100\) 位工人才又繼續做第三個 \(1/4\) 的工程，但工程進度更為落後。假設每位工人的工作能力都一樣，試問在完成全部工程的第三個 \(1/4\) 之後，除了現有的 \(800\) 位工人外，最後的 \(1/4\) 工程至少應再增加 \(a\times 100+b\times 10+c\) 位工人才能如預定時程完工，\(a,b,c\) 為介於 \(0\sim 9\) 的整數，則下列敘述何者正確？（Ａ）\(a=5\)（Ｂ）\(b=6\)（Ｃ）\(c=7\)（Ｄ）\(a+b=12\)（Ｅ）\(a+b+c=19\)

解答：

設最後 \(1/4\) 工程要增加的人數為 \(t\) 人，

假設原本預計 \(1000\) 人一起工作 \(A\) 天即可以完成全部的工程，

完成此工程需 \(1000A\)　（人‧天）的工作量，

每 \(1/4\) 工程需要 \(250\)　（人‧天）的工作量，

則 \(\displaystyle \frac{250A}{1000}+\frac{250A}{900}+\frac{250A}{800}+\frac{250A}{800+t}=A\)

　 \(\Rightarrow t=765.217xxxx\)

　　所以至少應再增加 \(766\) 人。







第 17 題：關於函數 \(\displaystyle f(x)=\sqrt{3}\sin\left(x+\frac{\pi}{6}\right)-2\sin x\)，請問下列敘述何者正確？
（Ａ）\(y=f(x)\) 的週期為 \(\pi\)
（Ｂ）\(y=f(x)\) 的震幅為 \(1\)
（Ｃ）\(y=f(x)\) 的最大值為 \(\sqrt{7}\)
（Ｄ）在 \(\displaystyle 0\leq x\leq \frac{\pi}{2}\)，\(y=f(x)\) 的圖形為遞減
（Ｅ）將 \(y=\sin x\) 的圖形左移 \(\displaystyle \frac{2\pi}{3}\) 得 \(y=f(x)\) 的圖形

解答：

將 \(f(x)\) 由和角公式展開，再合併，可得 \(\displaystyle f(x)=\cos\left(x+\frac{\pi}{6}\right)=\sin\left(x+\frac{2\pi}{3}\right)\)。

引用:

原帖由 Ellipse 於 2011-3-12 09:53 PM 發表


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謝謝~~

想請問這份考題的4,7,18題，謝謝！

第 4 題：
求\(\displaystyle tan\frac{\pi}{13}tan\frac{2\pi}{13}tan\frac{3\pi}{13}\ldots tan\frac{6\pi}{13}\)
(A)\(\displaystyle \frac{\sqrt{6}}{32}\)　(B)\(\displaystyle \frac{\sqrt{13}}{64}\)　(C)\(\displaystyle \frac{\sqrt{11}}{32}\)　(D)\(\sqrt{11}\)　(E)\(\sqrt{13}\)
[解答]
\(\displaystyle\tan\frac{\pi}{13}\tan\frac{2\pi}{13}\tan\frac{3\pi}{13}\cdots\tan\frac{6\pi}{13}\)

　　\(\displaystyle=\frac{\displaystyle\sin\frac{\pi}{13}\sin\frac{2\pi}{13}\sin\frac{3\pi}{13}\cdots \sin\frac{6\pi}{13}
}{\displaystyle\cos\frac{\pi}{13}\cos\frac{2\pi}{13}\cos\frac{3\pi}{13}\cdots\cos\frac{6\pi}{13}}\)

　　\(\displaystyle=\frac{\displaystyle\frac{\sqrt{13}}{2^6}}{\displaystyle\frac{1}{2^6}}\)

　　\(=\sqrt{13}.\)

註：

\(\displaystyle\sin\frac{\pi}{2n+1}\sin\frac{2\pi}{2n+1}\sin\frac{3\pi}{2n+1}\cdots \sin\frac{n\pi}{2n+1}=\frac{\sqrt{2n+1}}{2^n}.\)

\(\displaystyle\cos\frac{\pi}{2n+1}\cos\frac{2\pi}{2n+1}\cos\frac{3\pi}{2n+1}\cdots\cos\frac{n\pi}{2n+1}=\frac{1}{2^n}.\)

\(\displaystyle\sin\frac{\pi}{2n}\sin\frac{2\pi}{2n}\sin\frac{3\pi}{2n}\cdots \sin\frac{(n-1)\pi}{2n}=\frac{\sqrt{n}}{2^{n-1}}.\)

\(\displaystyle\cos\frac{\pi}{2n}\cos\frac{2\pi}{2n}\cos\frac{3\pi}{2n}\cdots\cos\frac{(n-1)\pi}{2n}=\frac{\sqrt{n}}{2^{n-1}}.\)

第 18 題：
設\(x\)、\(y\)為非零之複數，且\(x^2+xy+y^2=0\)，若\(\displaystyle S_n=\left(\frac{x}{x+y}\right)^n+\left(\frac{y}{x+y}\right)^n\)，\(n\)為自然數，則下列敘述何者正確？
(A)\(S_{2006}=-1\)　(B)\(S_{3k=-2}\)，\(k\)為自然數　(C)\(S_{3k-2}=1\)，\(k\)為自然數　(D)\(S_{3k-1}=-1\)，\(k\)為自然數　(E)\(\displaystyle \sum_{i=1}^{2006}S_i=0\)
[解答]
令 \(\displaystyle a=\frac{x}{x+y}, b=\frac{y}{x+y},\)

則 \(a+b=1\) 且 \(\displaystyle ab=\frac{xy}{x^2+2xy+y^2}=\frac{xy}{xy+\left(x^2+xy+y^2\right)}=1\)

　　\(\Rightarrow a,b\) 為 \(x\) 的一元二次方程式 \(x^2-(a+b)x+ab=0\) 的兩根，

　　亦即 \(a,b\) 為 \(x\) 的一元二次方程式 \(x^2-x+1=0\) 的兩根，

若令 \(\displaystyle \omega=\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}\)，則

　　\((a,b)=(-\omega,-\omega^2)\) 或 \((a,b)=(-\omega^2,-\omega)\)

　　\(\displaystyle S_n=a^n+b^n=\left(-\omega\right)^n+\left(-\omega^2\right)^n\)

故，

　　\(\displaystyle S_{3k}=2\cdot(-1)^k, S_{3k+1}=(-1)^k, S_{3k+2}=(-1)^{k+1}\)

因此，

　　\(S_{6k}+S_{6k+1}+S_{6k+2}+S_{6k+3}+S_{6k+4}+S_{6k+5}=0\)

　　\(\displaystyle \sum_{i=1}^{2006}S_k=S_1+S_2+0\times 334=S_1+S_2=1-1=0\)




另解，

也可以利用

\(S_{n+2}=a^{n+2}+b^{n+2}\)

　　\(=\left(a+b\right)\left(a^{n+1}+b^{n+1}\right)-ab\left(a^n+b^n\right)\)

　　\(=S_{n+1}-S_{n}\)

然後搭配另外找出的前兩項，得知 \(S_n\) 每六項一循環。

第 7 題：
設\(1<a<b<c<30\)，\(a\)、\(b\)、\(c\)為整數，將1、\(a\)、\(b\)、\(c\)四個數兩兩相加，其和由小而大排序可形成六個數的等差數列，且總和為201，則下列敘述何者正確？
(A)\(b-a=9\)　(B)\(c-a=14\)　(C)\(a+b=37\)　(D)\(b+c=51\)　(E)\(a+b+c=65\)
[解答]
將 \(1, a, b, c\) 任取兩數相加，可得

　　　　　\(1+a, 1+b, 1+c, a+b, a+c, b+c\) 共六個數字，

此六數之和\(=3+3a+3b+3c=201\)

　　　　　\(\Rightarrow a+b+c=66\)

因為 \(1<a<b<c,\)

所以 \(1+a<1+b<1+c\)　且　\(a+b<a+c<b+c\)

此六數由小到大排列所形成的等差數列可能為

　　　　\(1+a, 1+b, 1+c, a+b, a+c, b+c\)

　　　　或　\(1+a, 1+b, a+b, 1+c, a+c, b+c\)



case i:　若此由小到大的等差六數為 \(1+a, 1+b, 1+c, a+b, a+c, b+c\)

　　　　由公差\(=b-a=c-b=a+b-c-1\) 且 \(a+b+c=66\)

　　　　可解得 \(a=15, b=22, c=29\)

　　　　此等差六數為 \(16, 23, 30, 37, 44, 51\)

case ii:　若此由小到大的等差六數為 \(1+a, 1+b, a+b, 1+c, a+c, b+c\)

　　　　由公差\(=b-a=a-1=1+c-a-b\) 且 \(a+b+c=66\)

　　　　可解得 \(a=10, b=19, c=37\)

　　　　此組解不符合題意的 \(c<30\)

謝謝瑋岳快速解答完三解，有被秒殺的感覺！

想請問第四題您附的四個正餘弦公式，
正弦的兩個公式，數學101有證明，
那餘弦的兩公式，是如何證得？

第一部份：

\(\displaystyle\sin\frac{\pi}{2n+1}\sin\frac{2\pi}{2n+1}\sin\frac{3\pi}{2n+1}\cdots \sin\frac{n\pi}{2n+1}=\frac{\sqrt{2n+1}}{2^n}.\)

\(\displaystyle\cos\frac{\pi}{2n+1}\cos\frac{2\pi}{2n+1}\cos\frac{3\pi}{2n+1}\cdots\cos\frac{n\pi}{2n+1}=\frac{1}{2^n}.\)



設 \(\displaystyle \omega=\cos\frac{2\pi}{2n+1}+i\sin\frac{2\pi}{2n+1}\)，

則 \(\displaystyle (x-\omega)(x-\omega^2)\cdots(x-\omega^{2n})=\frac{x^{2n+1}-1}{x-1}\)

　　　　　　　　　　　　　　　　　 \(\displaystyle =x^{2n}+x^{2n-1}+\cdots+x+1\)


　　\(\displaystyle \left|\left(x-\omega\right)\left(x-\omega^2\right)\cdots\left(x-\omega^{2n}\right)\right|=\left|x^{2n}+x^{2n-1}+\cdots+x+1\right|\) ‧‧‧（＊）


將 \(x=1\) 帶入（＊），可得

　　\(\displaystyle \left|\left(1-\omega\right)\left(1-\omega^2\right)\cdots\left(1-\omega^{2n}\right)\right|=2n+1\)

又因為 \(\displaystyle \left|1-\omega^k\right|=\left|1-\cos\frac{2k\pi}{2n+1}-i\sin\frac{2k\pi}{2n+1}\right|\)

　　　　　　　　　　　\(\displaystyle =\left|2\sin^2\frac{k\pi}{2n+1}-2i\sin\frac{k\pi}{2n+1}\cos\frac{k\pi}{2n+1}\right|\)

　　　　　　　　　　　\(\displaystyle =2\sin\frac{k\pi}{2n+1}\left|\sin\frac{k\pi}{2n+1}-i\cos\frac{k\pi}{2n+1}\right|\)

　　　　　　　　　　　\(\displaystyle =2\sin\frac{k\pi}{2n+1}, \forall k=1,2,\cdots,2n\)

所以，

　　\(\displaystyle \left|\left(1-\omega\right)\left(1-\omega^2\right)\cdots\left(1-\omega^{2n}\right)\right|=2n+1\)

　　\(\displaystyle \Rightarrow 2\sin\frac{\pi}{2n+1}\cdot2\sin\frac{2\pi}{2n+1}\cdot2\sin\frac{3\pi}{2n+1}\cdots2\sin\frac{2n\pi}{2n+1}=2n+1\)

　　\(\displaystyle \Rightarrow 2^{2n}\left(\sin\frac{\pi}{2n+1}\sin\frac{2\pi}{2n+1}\sin\frac{3\pi}{2n+1}\cdots\sin\frac{n\pi}{2n+1}\right)^2=2n+1\)

　　\(\displaystyle \Rightarrow \sin\frac{\pi}{2n+1}\sin\frac{2\pi}{2n+1}\sin\frac{3\pi}{2n+1}\cdots\sin\frac{n\pi}{2n+1}=\frac{\sqrt{2n+1}}{2^n}\)




將 \(x=-1\) 帶入（＊），可得

　　\(\displaystyle \left|\left(1+\omega\right)\left(1+\omega^2\right)\cdots\left(1+\omega^{2n}\right)\right|=1\)

又因為 \(\displaystyle \left|1+\omega^k\right|=\left|1+\cos\frac{2k\pi}{2n+1}+i\sin\frac{2k\pi}{2n+1}\right|\)

　　　　　　　　　　　\(\displaystyle =\left|2\cos^2\frac{k\pi}{2n+1}+2i\sin\frac{k\pi}{2n+1}\cos\frac{k\pi}{2n+1}\right|\)

　　　　　　　　　　　\(\displaystyle =2\left|\cos\frac{k\pi}{2n+1}\right|\left|\cos\frac{k\pi}{2n+1}+i\sin\frac{k\pi}{2n+1}\right|\)

　　　　　　　　　　　\(\displaystyle =2\left|\cos\frac{k\pi}{2n+1}\right|, \forall k=1,2,\cdots,2n\)

所以，

　　\(\displaystyle \left|\left(1+\omega\right)\left(1+\omega^2\right)\cdots\left(1+\omega^{2n}\right)\right|=1\)

　　\(\displaystyle \Rightarrow \left|2\cos\frac{\pi}{2n+1}\cdot2\cos\frac{2\pi}{2n+1}\cdot2\cos\frac{3\pi}{2n+1}\cdots2\cos\frac{2n\pi}{2n+1}\right|=1\)

　　\(\displaystyle \Rightarrow 2^{2n}\left(\cos\frac{\pi}{2n+1}\cos\frac{2\pi}{2n+1}\cos\frac{3\pi}{2n+1}\cdots\cos\frac{n\pi}{2n+1}\right)^2=1\)

　　\(\displaystyle \Rightarrow \cos\frac{\pi}{2n+1}\cos\frac{2\pi}{2n+1}\cos\frac{3\pi}{2n+1}\cdots\cos\frac{n\pi}{2n+1}=\frac{1}{2^n}\)






第二部份：

\(\displaystyle\sin\frac{\pi}{2n}\sin\frac{2\pi}{2n}\sin\frac{3\pi}{2n}\cdots \sin\frac{(n-1)\pi}{2n}=\frac{\sqrt{n}}{2^{n-1}}.\)

\(\displaystyle\cos\frac{\pi}{2n}\cos\frac{2\pi}{2n}\cos\frac{3\pi}{2n}\cdots\cos\frac{(n-1)\pi}{2n}=\frac{\sqrt{n}}{2^{n-1}}.\)



設 \(\displaystyle \omega=\cos\frac{2\pi}{2n}+i\sin\frac{2\pi}{2n}\)，

則 \(\displaystyle (x-\omega)(x-\omega^2)\cdots(x-\omega^{2n-1})=\frac{x^{2n}-1}{x-1}\)

　　　　　　　　　　　　　　　　　 \(\displaystyle =x^{2n-1}+x^{2n-2}+\cdots+x+1\)


　　\(\displaystyle \left|\left(x-\omega\right)\left(x-\omega^2\right)\cdots\left(x-\omega^{2n-1}\right)\right|=\left|x^{2n-1}+x^{2n-2}+\cdots+x+1\right|\) ‧‧‧（＊＊）


將 \(x=1\) 帶入（＊＊），可得

　　\(\displaystyle \left|\left(1-\omega\right)\left(1-\omega^2\right)\cdots\left(1-\omega^{2n-1}\right)\right|=2n\)

又因為 \(\displaystyle \left|1-\omega^k\right|=\left|1-\cos\frac{2k\pi}{2n}-i\sin\frac{2k\pi}{2n}\right|\)

　　　　　　　　　　　\(\displaystyle =\left|2\sin^2\frac{k\pi}{2n}-2i\sin\frac{k\pi}{2n}\cos\frac{k\pi}{2n}\right|\)

　　　　　　　　　　　\(\displaystyle =2\sin\frac{k\pi}{2n}\left|\sin\frac{k\pi}{2n}-i\cos\frac{k\pi}{2n}\right|\)

　　　　　　　　　　　\(\displaystyle =2\sin\frac{k\pi}{2n}, \forall k=1,2,\cdots,2n-1\)

所以，

　　\(\displaystyle \left|\left(1-\omega\right)\left(1-\omega^2\right)\cdots\left(1-\omega^{2n-1}\right)\right|=2n\)

　　\(\displaystyle \Rightarrow 2\sin\frac{\pi}{2n}\cdot2\sin\frac{2\pi}{2n}\cdot2\sin\frac{3\pi}{2n}\cdots2\sin\frac{(2n-1)\pi}{2n}=2n\)

　　\(\displaystyle \Rightarrow 2^{2n-1}\left(\sin\frac{\pi}{2n}\sin\frac{2\pi}{2n}\sin\frac{3\pi}{2n}\cdots\sin\frac{(n-1)\pi}{2n}\right)^2\sin\frac{n\pi}{2n}=2n\)

　　\(\displaystyle \Rightarrow \sin\frac{\pi}{2n}\sin\frac{2\pi}{2n}\sin\frac{3\pi}{2n}\cdots\sin\frac{(n-1)\pi}{2n}=\frac{\sqrt{n}}{2^{n-1}}\)



而且

　　\(\displaystyle \cos\frac{\pi}{2n}\cos\frac{2\pi}{2n}\cos\frac{3\pi}{2n}\cdots\cos\frac{(n-1)\pi}{2n}\)

　　　　\(\displaystyle =\sin\left(\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{2n}\right)\sin\left(\frac{\pi}{2}-\frac{2\pi}{2n}\right)\sin\left(\frac{\pi}{2}-\frac{3\pi}{2n}\right)\cdots\sin\left(\frac{\pi}{2}-\frac{(n-1)\pi}{2n}\right)\)

　　　　\(\displaystyle =\sin\frac{(n-1)\pi}{2n}\sin\frac{(n-2)\pi}{2n}\sin\frac{(n-3)\pi}{2n}\cdots\sin\frac{\pi}{2n}\)

　　　　\(\displaystyle =\frac{\sqrt{n}}{2^{n-1}}\)