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95台中縣高中聯招

95台中縣高中聯招

大家好~
想請問16題答案17題的(E)

原本給的答案:
16.  AB(覺得是BE)
17.  BD(想問E是否也對)

謝謝大家~
考題如附件

2011.3.13版主補充
花了些時間將題目重新輸入,給網友能將整份題目印出來練習,另外也讓google能搜尋到這份題目

附件

95年臺中縣高級中學教師聯合甄選數學科試題.rar (480.17 KB)

2011-3-12 18:13, 下載次數: 9936

95台中縣高中聯招.pdf (184.78 KB)

2011-3-13 06:54, 下載次數: 10024

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引用:
原帖由 milkie1013 於 2011-3-12 06:13 PM 發表
大家好~
想請問16題答案與17題的(E)

原本給的答案:
16.  AB(覺得是BE)
17.  BD(想問E是否也對)

謝謝大家~
考題如附件
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^__^


我這兩題都跟你的答案一樣,如下。  註:Ellipse 回文好快,感謝  ^___^ 。




第 16 題:為了完成一建大工程,僱請 1000 位工人恰可依照預定時間完成工作。這 1000 位工人一起工作,依照計畫完成了前 14 工程;接著,解僱了 100 位工人才繼續做第二個 14 的工程,所以這段工程進度落後;接著,再解雇 100 位工人才又繼續做第三個 14 的工程,但工程進度更為落後。假設每位工人的工作能力都一樣,試問在完成全部工程的第三個 14 之後,除了現有的 800 位工人外,最後的 14 工程至少應再增加 a100+b10+c 位工人才能如預定時程完工,abc 為介於 09 的整數,則下列敘述何者正確?(A)a=5(B)b=6(C)c=7(D)a+b=12(E)a+b+c=19

解答:

設最後 14 工程要增加的人數為 t 人,

假設原本預計 1000 人一起工作 A 天即可以完成全部的工程,

完成此工程需 1000A (人‧天)的工作量,

14 工程需要 250 (人‧天)的工作量,

1000250A+900250A+800250A+250A800+t=A

  t=765217xxxx

  所以至少應再增加 766 人。







第 17 題:關於函數 f(x)=3sinx+62sinx ,請問下列敘述何者正確?
(A)y=f(x) 的週期為
(B)y=f(x) 的震幅為 1
(C)y=f(x) 的最大值為 \sqrt{7}
(D)在 \displaystyle 0\leq x\leq \frac{\pi}{2}y=f(x) 的圖形為遞減
(E)將 y=\sin x 的圖形左移 \displaystyle \frac{2\pi}{3}y=f(x) 的圖形

解答:

f(x) 由和角公式展開,再合併,可得 \displaystyle f(x)=\cos\left(x+\frac{\pi}{6}\right)=\sin\left(x+\frac{2\pi}{3}\right)

多喝水。

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引用:
原帖由 Ellipse 於 2011-3-12 09:53 PM 發表


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謝謝~~

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回復 1# milkie1013 的帖子

想請問這份考題的4,7,18題,謝謝!

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第 4 題:
\displaystyle tan\frac{\pi}{13}tan\frac{2\pi}{13}tan\frac{3\pi}{13}\ldots tan\frac{6\pi}{13}
(A)\displaystyle \frac{\sqrt{6}}{32} (B)\displaystyle \frac{\sqrt{13}}{64} (C)\displaystyle \frac{\sqrt{11}}{32} (D)\sqrt{11} (E)\sqrt{13}
[解答]
\displaystyle\tan\frac{\pi}{13}\tan\frac{2\pi}{13}\tan\frac{3\pi}{13}\cdots\tan\frac{6\pi}{13}

  \displaystyle=\frac{\displaystyle\sin\frac{\pi}{13}\sin\frac{2\pi}{13}\sin\frac{3\pi}{13}\cdots \sin\frac{6\pi}{13} }{\displaystyle\cos\frac{\pi}{13}\cos\frac{2\pi}{13}\cos\frac{3\pi}{13}\cdots\cos\frac{6\pi}{13}}

  \displaystyle=\frac{\displaystyle\frac{\sqrt{13}}{2^6}}{\displaystyle\frac{1}{2^6}}

  =\sqrt{13}.

註:

\displaystyle\sin\frac{\pi}{2n+1}\sin\frac{2\pi}{2n+1}\sin\frac{3\pi}{2n+1}\cdots \sin\frac{n\pi}{2n+1}=\frac{\sqrt{2n+1}}{2^n}.

\displaystyle\cos\frac{\pi}{2n+1}\cos\frac{2\pi}{2n+1}\cos\frac{3\pi}{2n+1}\cdots\cos\frac{n\pi}{2n+1}=\frac{1}{2^n}.

\displaystyle\sin\frac{\pi}{2n}\sin\frac{2\pi}{2n}\sin\frac{3\pi}{2n}\cdots \sin\frac{(n-1)\pi}{2n}=\frac{\sqrt{n}}{2^{n-1}}.

\displaystyle\cos\frac{\pi}{2n}\cos\frac{2\pi}{2n}\cos\frac{3\pi}{2n}\cdots\cos\frac{(n-1)\pi}{2n}=\frac{\sqrt{n}}{2^{n-1}}.

多喝水。

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第 18 題:
xy為非零之複數,且x^2+xy+y^2=0,若\displaystyle S_n=\left(\frac{x}{x+y}\right)^n+\left(\frac{y}{x+y}\right)^nn為自然數,則下列敘述何者正確?
(A)S_{2006}=-1 (B)S_{3k=-2}k為自然數 (C)S_{3k-2}=1k為自然數 (D)S_{3k-1}=-1k為自然數 (E)\displaystyle \sum_{i=1}^{2006}S_i=0
[解答]
\displaystyle a=\frac{x}{x+y}, b=\frac{y}{x+y},

a+b=1\displaystyle ab=\frac{xy}{x^2+2xy+y^2}=\frac{xy}{xy+\left(x^2+xy+y^2\right)}=1

  \Rightarrow a,bx 的一元二次方程式 x^2-(a+b)x+ab=0 的兩根,

  亦即 a,bx 的一元二次方程式 x^2-x+1=0 的兩根,

若令 \displaystyle \omega=\frac{-1+\sqrt{3}i}{2},則

  (a,b)=(-\omega,-\omega^2)(a,b)=(-\omega^2,-\omega)

  \displaystyle S_n=a^n+b^n=\left(-\omega\right)^n+\left(-\omega^2\right)^n

故,

  \displaystyle S_{3k}=2\cdot(-1)^k, S_{3k+1}=(-1)^k, S_{3k+2}=(-1)^{k+1}

因此,

  S_{6k}+S_{6k+1}+S_{6k+2}+S_{6k+3}+S_{6k+4}+S_{6k+5}=0

  \displaystyle \sum_{i=1}^{2006}S_k=S_1+S_2+0\times 334=S_1+S_2=1-1=0




另解,

也可以利用

S_{n+2}=a^{n+2}+b^{n+2}

  =\left(a+b\right)\left(a^{n+1}+b^{n+1}\right)-ab\left(a^n+b^n\right)

  =S_{n+1}-S_{n}

然後搭配另外找出的前兩項,得知 S_n 每六項一循環。

多喝水。

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第 7 題:
1<a<b<c<30abc為整數,將1、abc四個數兩兩相加,其和由小而大排序可形成六個數的等差數列,且總和為201,則下列敘述何者正確?
(A)b-a=9 (B)c-a=14 (C)a+b=37 (D)b+c=51 (E)a+b+c=65
[解答]
1, a, b, c 任取兩數相加,可得

     1+a, 1+b, 1+c, a+b, a+c, b+c 共六個數字,

此六數之和=3+3a+3b+3c=201

     \Rightarrow a+b+c=66

因為 1<a<b<c,

所以 1+a<1+b<1+c 且 a+b<a+c<b+c

此六數由小到大排列所形成的等差數列可能為

    1+a, 1+b, 1+c, a+b, a+c, b+c

    或 1+a, 1+b, a+b, 1+c, a+c, b+c



case i: 若此由小到大的等差六數為 1+a, 1+b, 1+c, a+b, a+c, b+c

    由公差=b-a=c-b=a+b-c-1a+b+c=66

    可解得 a=15, b=22, c=29

    此等差六數為 16, 23, 30, 37, 44, 51

case ii: 若此由小到大的等差六數為 1+a, 1+b, a+b, 1+c, a+c, b+c

    由公差=b-a=a-1=1+c-a-ba+b+c=66

    可解得 a=10, b=19, c=37

    此組解不符合題意的 c<30

多喝水。

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回復 6# weiye 的帖子

謝謝瑋岳快速解答完三解,有被秒殺的感覺!

想請問第四題您附的四個正餘弦公式,
正弦的兩個公式,數學101有證明,
那餘弦的兩公式,是如何證得?

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回復 9# aonzoe 的帖子

第一部份:

\displaystyle\sin\frac{\pi}{2n+1}\sin\frac{2\pi}{2n+1}\sin\frac{3\pi}{2n+1}\cdots \sin\frac{n\pi}{2n+1}=\frac{\sqrt{2n+1}}{2^n}.

\displaystyle\cos\frac{\pi}{2n+1}\cos\frac{2\pi}{2n+1}\cos\frac{3\pi}{2n+1}\cdots\cos\frac{n\pi}{2n+1}=\frac{1}{2^n}.



\displaystyle \omega=\cos\frac{2\pi}{2n+1}+i\sin\frac{2\pi}{2n+1}

\displaystyle (x-\omega)(x-\omega^2)\cdots(x-\omega^{2n})=\frac{x^{2n+1}-1}{x-1}

                  \displaystyle =x^{2n}+x^{2n-1}+\cdots+x+1


  \displaystyle \left|\left(x-\omega\right)\left(x-\omega^2\right)\cdots\left(x-\omega^{2n}\right)\right|=\left|x^{2n}+x^{2n-1}+\cdots+x+1\right| ‧‧‧(*)


x=1 帶入(*),可得

  \displaystyle \left|\left(1-\omega\right)\left(1-\omega^2\right)\cdots\left(1-\omega^{2n}\right)\right|=2n+1

又因為 \displaystyle \left|1-\omega^k\right|=\left|1-\cos\frac{2k\pi}{2n+1}-i\sin\frac{2k\pi}{2n+1}\right|

           \displaystyle =\left|2\sin^2\frac{k\pi}{2n+1}-2i\sin\frac{k\pi}{2n+1}\cos\frac{k\pi}{2n+1}\right|

           \displaystyle =2\sin\frac{k\pi}{2n+1}\left|\sin\frac{k\pi}{2n+1}-i\cos\frac{k\pi}{2n+1}\right|

           \displaystyle =2\sin\frac{k\pi}{2n+1}, \forall k=1,2,\cdots,2n

所以,

  \displaystyle \left|\left(1-\omega\right)\left(1-\omega^2\right)\cdots\left(1-\omega^{2n}\right)\right|=2n+1

  \displaystyle \Rightarrow 2\sin\frac{\pi}{2n+1}\cdot2\sin\frac{2\pi}{2n+1}\cdot2\sin\frac{3\pi}{2n+1}\cdots2\sin\frac{2n\pi}{2n+1}=2n+1

  \displaystyle \Rightarrow 2^{2n}\left(\sin\frac{\pi}{2n+1}\sin\frac{2\pi}{2n+1}\sin\frac{3\pi}{2n+1}\cdots\sin\frac{n\pi}{2n+1}\right)^2=2n+1

  \displaystyle \Rightarrow \sin\frac{\pi}{2n+1}\sin\frac{2\pi}{2n+1}\sin\frac{3\pi}{2n+1}\cdots\sin\frac{n\pi}{2n+1}=\frac{\sqrt{2n+1}}{2^n}




x=-1 帶入(*),可得

  \displaystyle \left|\left(1+\omega\right)\left(1+\omega^2\right)\cdots\left(1+\omega^{2n}\right)\right|=1

又因為 \displaystyle \left|1+\omega^k\right|=\left|1+\cos\frac{2k\pi}{2n+1}+i\sin\frac{2k\pi}{2n+1}\right|

           \displaystyle =\left|2\cos^2\frac{k\pi}{2n+1}+2i\sin\frac{k\pi}{2n+1}\cos\frac{k\pi}{2n+1}\right|

           \displaystyle =2\left|\cos\frac{k\pi}{2n+1}\right|\left|\cos\frac{k\pi}{2n+1}+i\sin\frac{k\pi}{2n+1}\right|

           \displaystyle =2\left|\cos\frac{k\pi}{2n+1}\right|, \forall k=1,2,\cdots,2n

所以,

  \displaystyle \left|\left(1+\omega\right)\left(1+\omega^2\right)\cdots\left(1+\omega^{2n}\right)\right|=1

  \displaystyle \Rightarrow \left|2\cos\frac{\pi}{2n+1}\cdot2\cos\frac{2\pi}{2n+1}\cdot2\cos\frac{3\pi}{2n+1}\cdots2\cos\frac{2n\pi}{2n+1}\right|=1

  \displaystyle \Rightarrow 2^{2n}\left(\cos\frac{\pi}{2n+1}\cos\frac{2\pi}{2n+1}\cos\frac{3\pi}{2n+1}\cdots\cos\frac{n\pi}{2n+1}\right)^2=1

  \displaystyle \Rightarrow \cos\frac{\pi}{2n+1}\cos\frac{2\pi}{2n+1}\cos\frac{3\pi}{2n+1}\cdots\cos\frac{n\pi}{2n+1}=\frac{1}{2^n}






第二部份:

\displaystyle\sin\frac{\pi}{2n}\sin\frac{2\pi}{2n}\sin\frac{3\pi}{2n}\cdots \sin\frac{(n-1)\pi}{2n}=\frac{\sqrt{n}}{2^{n-1}}.

\displaystyle\cos\frac{\pi}{2n}\cos\frac{2\pi}{2n}\cos\frac{3\pi}{2n}\cdots\cos\frac{(n-1)\pi}{2n}=\frac{\sqrt{n}}{2^{n-1}}.



\displaystyle \omega=\cos\frac{2\pi}{2n}+i\sin\frac{2\pi}{2n}

\displaystyle (x-\omega)(x-\omega^2)\cdots(x-\omega^{2n-1})=\frac{x^{2n}-1}{x-1}

                  \displaystyle =x^{2n-1}+x^{2n-2}+\cdots+x+1


  \displaystyle \left|\left(x-\omega\right)\left(x-\omega^2\right)\cdots\left(x-\omega^{2n-1}\right)\right|=\left|x^{2n-1}+x^{2n-2}+\cdots+x+1\right| ‧‧‧(**)


x=1 帶入(**),可得

  \displaystyle \left|\left(1-\omega\right)\left(1-\omega^2\right)\cdots\left(1-\omega^{2n-1}\right)\right|=2n

又因為 \displaystyle \left|1-\omega^k\right|=\left|1-\cos\frac{2k\pi}{2n}-i\sin\frac{2k\pi}{2n}\right|

           \displaystyle =\left|2\sin^2\frac{k\pi}{2n}-2i\sin\frac{k\pi}{2n}\cos\frac{k\pi}{2n}\right|

           \displaystyle =2\sin\frac{k\pi}{2n}\left|\sin\frac{k\pi}{2n}-i\cos\frac{k\pi}{2n}\right|

           \displaystyle =2\sin\frac{k\pi}{2n}, \forall k=1,2,\cdots,2n-1

所以,

  \displaystyle \left|\left(1-\omega\right)\left(1-\omega^2\right)\cdots\left(1-\omega^{2n-1}\right)\right|=2n

  \displaystyle \Rightarrow 2\sin\frac{\pi}{2n}\cdot2\sin\frac{2\pi}{2n}\cdot2\sin\frac{3\pi}{2n}\cdots2\sin\frac{(2n-1)\pi}{2n}=2n

  \displaystyle \Rightarrow 2^{2n-1}\left(\sin\frac{\pi}{2n}\sin\frac{2\pi}{2n}\sin\frac{3\pi}{2n}\cdots\sin\frac{(n-1)\pi}{2n}\right)^2\sin\frac{n\pi}{2n}=2n

  \displaystyle \Rightarrow \sin\frac{\pi}{2n}\sin\frac{2\pi}{2n}\sin\frac{3\pi}{2n}\cdots\sin\frac{(n-1)\pi}{2n}=\frac{\sqrt{n}}{2^{n-1}}



而且

  \displaystyle \cos\frac{\pi}{2n}\cos\frac{2\pi}{2n}\cos\frac{3\pi}{2n}\cdots\cos\frac{(n-1)\pi}{2n}

    \displaystyle =\sin\left(\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{2n}\right)\sin\left(\frac{\pi}{2}-\frac{2\pi}{2n}\right)\sin\left(\frac{\pi}{2}-\frac{3\pi}{2n}\right)\cdots\sin\left(\frac{\pi}{2}-\frac{(n-1)\pi}{2n}\right)

    \displaystyle =\sin\frac{(n-1)\pi}{2n}\sin\frac{(n-2)\pi}{2n}\sin\frac{(n-3)\pi}{2n}\cdots\sin\frac{\pi}{2n}

    \displaystyle =\frac{\sqrt{n}}{2^{n-1}}

多喝水。

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