九十八學年度高屏區，高級中學數學及自然科能力競賽，數學筆試（二）
當中的第一題題目為：
一、設函數具有性質 \(f(x-1)f(y-1)=f(xy-x-y+1)+2x-3y+3\)，求 \(f(2009)=?\)
官方版的答案詳見：
http://140.122.140.4/exam/hs/98/doc/98_hs_exam_report.pdf 當中的頁碼第 122 與 123 頁。
今天學生來問我時，提到做法如下：
令 \(a=x-1,y=b-1\)，則 \(f(a)f(b)=f(ab)+2a-3b+2\)，則
分別以 \(a=1,b=2009\) 及 \(a=2009, b=1\) 帶入，可得兩式
\(f(1)f(2009)=f(2009)-6023\) 及 \(f(2009)f(1)=f(2009)+4017\)，
兩式相減，可得矛盾方程式，故此題目有誤。
想請論壇上網友幫忙再次確認，是否是題目有誤？（我是這樣覺得啦，但還是問一聲～
）
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而且考究官方解答中的兩種情況
情況 (i)：「\(f(x-1)=1+x\) 」，則 \(f(x)=x+2\)，
左式＝\(f(x-1)f(y-1)=xy+y+x+1\)
右式＝\(f(xy-x-y+1)+2x-3y+3=xy-4y+x+6\)，兩者不必然會相等。
情況 (ii) ：「\(f(x-1)=1-2x\)」，則 \(f(x)=-1-2x\)，
左式＝\(f(x-1)f(y-1)=4xy-2y-2x+1\)
右式＝\(f(xy-x-y+1)+2x-3y+3=-2xy-y+4x\)，兩者不必然會相等。
以上思考流程如果有誤的話，希望論壇上先進能不吝告知？感謝。
