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請益 高中數學101, P244,例3,橢圓

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請益 高中數學101, P244,例3,橢圓

如下的過程看不懂,要找a與b,不是要解聯立方程式嗎, 懇請老師協助,謝謝

\(\frac{{a^2 }}{{b^2 }} = 27 \cdot \frac{b}{a},\frac{a}{b} = 27 \cdot \frac{{b^2 }}{{a^2 }} \Leftrightarrow a = 3b\)


[ 本帖最後由 ksjeng 於 2011-2-8 05:37 PM 編輯 ]

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該解法中並沒有要求出 a, b 之值,

只是找出 (a+b)^2 的下界為 64,

然後檢查兩個算幾不等式有沒有可能同時成立,

發現兩個算幾不等式成立的條件都是 a=3b,

所以 64 不只是 (a+b)^2 的下界,也是最小值。

當然該題還有第二小題,此時就需要求出 a 與 b 的值,

該解答並沒有做完。

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第1小題若是從廣義的科西不等式著手(這個方法好像比較省時,來自 筆記note1),
則a與b的關係該如何導求,
如何避開難解的a,b聯立方程式?

或者廣義的科西不等式,"="成立的條件要怎麼寫
好像要寫成連比例?
懇請解惑

[ 本帖最後由 ksjeng 於 2011-2-8 03:08 PM 編輯 ]

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利用廣義柯西不等式的另解



題目:已知 \(\displaystyle \Gamma_{-}: \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 (a>0, b>0)\),過 \((3\sqrt{3},1)\),

   則 \(a+b\) 之最小值為?此時,\(\Gamma_{-}\) 的方程式為?



解答:

因為 \(\displaystyle \Gamma_{-}: \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\),過 \((3\sqrt{3},1)\),

帶入可得 \(\displaystyle \frac{27}{a^2}+\frac{1}{b^2}=1\),

由廣義柯西不等式,可得

\(\displaystyle \left(\left(\frac{3}{\sqrt[3]{a^2}}\right)^3+\left(\frac{1}{\sqrt[3]{b^2}}\right)^3\right) \left(\left(\sqrt[3]{a}\right)^3+\left(\sqrt[3]{b}\right)^3\right) \left(\left(\sqrt[3]{a}\right)^3+\left(\sqrt[3]{b}\right)^3\right)\)

       \(\displaystyle\geq\left(\frac{3}{\sqrt[3]{a^2}}\cdot\sqrt[3]{a}\cdot\sqrt[3]{a}+\frac{1}{\sqrt[3]{b^2}}\cdot\sqrt[3]{b}\cdot\sqrt[3]{b}\right)^3\)

\(\displaystyle \Leftrightarrow \left(a+b\right)^2\geq 64\)

且因為 \(a>0,b>0\),所以 \(a+b\geq 8\)

且當等號成立時,若且唯若 \(\displaystyle \frac{3}{\sqrt[3]{a^2}}:\frac{1}{\sqrt[3]{b^2}}=\sqrt[3]{a}:\sqrt[3]{b}=\sqrt[3]{a}:\sqrt[3]{b}\Leftrightarrow a=3b\)

帶入 \(a+b=8\),可得 \(a=6,b=2\)

亦即,此時 \(\Gamma_{-}\) 的方程式為 \(\displaystyle \frac{x^2}{36}+\frac{y^2}{4}=1.\)

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謝謝老師 終於懂了
我會繼續閱讀廣義的科西不等式與應用

新年快樂

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