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一題二次多項式不等式題目

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一題二次多項式不等式題目

不好意思,想請教板上各位高手一題二次不等式題目
題目是
     當x>1時,
     不等式  x^2-2kx-3k>0恆成立
     試問k的範圍?

小弟想到的是慢慢就各種情況討論
不知道 各位板大對這種題目是否有何比較快速的方式
可以解決???

煩請不吝賜教!!感恩感恩!!!

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題目:當 \(x>1\) 時,不等式 \(x^2-2kx-3k>0\) 恆成立,試問 \(k\) 的範圍?

Thinking: 『當 \(x\) 在某範圍時,函數 \(f(x)\) 恆正』,

     先確認在 \(x\) 在該範圍時,函數 \(f(x)\) 的最小值到底是誰?

     只要能保證此範圍中的函數最小值恆正(即在 \(x\) 軸上方),則在該範圍中的所有函數值都會是正的。

解答:

令 \(f(x)=x^2-2kx-3k=\left(x-k\right)^2-3k-k^2\)

則 \(y=f(x)\) 為開口向上的拋物線,且其頂點為 \((k, -3k-k^2)\)


case i: 若 \(k\geq 1\),

      


    則需保證最低點的 \(y\) 坐標 \(f(k)=-3k-k^2>0\Rightarrow -3<k<0\) ,此與 \(k\geq1\) 相矛盾。

case ii:若 \(k<1\),

      
    則需保證最低點的 \(y\) 坐標  \(\displaystyle f(1)=1-5k>0\Rightarrow k<\frac{1}{5}\)

故,\(\displaystyle k<\frac{1}{5}.\)

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