題目：平行六面體 \(ABCD-EFGH\)，\(\overline{AB}=3, \overline{BC}=6, \overline{BF}=4, ∠BFE=60^\circ, ∠BFG=60^\circ, ∠EFG=90^\circ\)，
則 \(\overline{AG}\) 的長度為何？
解答：
令向量 \(\vec{FE}=\vec{a}, \vec{FG}=\vec{b}, \vec{FB}=\vec{c}\)，
則 \(\vec{AG}=\vec{AB}+\vec{BF}+\vec{FG}=-\vec{a}+\vec{b}-\vec{c}\)，
所以，\(\left|\vec{AG}\right|^2=\left(-\vec{a}+\vec{b}-\vec{c}\right)\cdot\left(-\vec{a}+\vec{b}-\vec{c}\right)\)
\(=\left|\vec{a}\right|^2+\left|\vec{b}\right|^2+\left|\vec{c}\right|^2-2\vec{a}\cdot\vec{b} -2\vec{b}\cdot\vec{c}+2\vec{a}\cdot\vec{c}\)
\(=9+36+16-2\times3\times6\cos90^\circ-2\times6\times4\cos60^\circ+2\times3\times4\cos60^\circ\)
\(=49\)
故，\(\overline{AG}=\left|\vec{AG}\right|=7\)。
