正四面體 \(ABCD\) 中,邊長為 \(a\),
則 \(ED\) 是正三角形 \(BCD\) 的中線,其長可求得,
\(F\) 為 \(A\) 投影至正三角形 \(BCD\) 的投影點,
因為 \(AB=AC=AD\),所以 \(F\) 亦為正三角形 \(BCD\) 的重心,
所以 \(EF\) 與 \(FD\) 可得知,
在直角三角形 \(AFD\) 中,由畢氏定理,可得 \(AF\) 長,
令 \(AO=R\),則 \(OF=AF-R\),
在直角三角形 \(OEF\) 中,由畢氏定理,可得 \(OE^2=OF^2+EF^2\),
可求得外接圓半徑 \(R.\)
而內切圓半徑就是 \(OF=AF-R.\)
如圖,設 \(ABCDEF\) 為正八面體,且其邊長為 \(a\),
則其外接圓半徑即為正方形 \(BCDE\) 的對角線長之半,
而上圖中,設 \(G\) 為 \(BC\) 之中點,\(O\) 為正方形 \(BCDE\) 對角線的交點,
在直角三角形 \(GOF\) 中,可求得其三邊長,
再求出 \(O\) 至斜邊 \(GF\) 的垂直距離即為內切圓半徑。