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例題:鴿籠原理的應用

例題:鴿籠原理的應用

題目:一袋中有紅、藍、黃三色球各10顆,有21人依序自袋中取球,

每人每次取三球,且取後放回,

求證:至少有 3 人所取出的球顏色是相同的。



證明:

袋中取出的三球顏色(不考慮各色球的順序)只有可能為下列的10種

  i. 三同:紅紅紅,藍藍藍,黃黃黃

  ii. 兩同一異:紅紅藍,紅紅黃,藍藍紅,藍藍黃,黃黃紅,黃黃藍

  iii. 三異:紅藍黃

因為 \(\displaystyle 21\div 10 = 2 \cdots 1\),所以至少有一組顏色的人數是 3 人以上。

(反証:若各組顏色的人數至多有兩人,則此 10 組總人數至多也只有 20 人,小於總人數 21 人,矛盾。)

多喝水。

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