設兩複數\(z_1\)、\(z_2\)均不為0，若\(z_1^2+z_1z_2+z_2^2=0\)且\(|\;z_2|\;=2\)，則\(|\;z_1-z_2|\;=\)　　　。
[解答]
Z_1^2+Z_1*Z_2+Z_2^2=0

同除Z_2^2   (Z_1/Z_2)^2+(Z_1/Z_2)+1=0

Z_1/Z_2=(-1+根號3i)/2

|Z_1-Z_2|=|Z_2||Z_1/Z_2-1|=|Z_2||(-3+根號3i)/2||=2根號3  #

謝謝你！

板上老師好,請問第12題要怎模要才能做出?

附件是卡住的計算過程,從前面的討論串只會作n是6的倍數

\( \displaystyle (1+x)^{200} = \sum_{k=0}^{200} a_{k} x^{k} \)

令\( \displaystyle \omega = \cos{\frac{2\pi}{3}} + i\sin{\frac{2\pi}{3}} \; , \; 1 + \omega + \omega^2 = 0 \; , \; \omega^{3} = 1 \)

\( \displaystyle (1+1)^{200} = a_{0} + a_{1} + a_{2} + a_{3} + \cdots + a_{200} \)

\( \displaystyle (1+\omega)^{200} = a_{0} + a_{1} \omega + a_{2} \omega^2 + a_{3} \omega^3 + \cdots + a_{200} \omega^{200} \)

\( \displaystyle (1+\omega^2)^{200} = a_{0} + a_{1} \omega^2 + a_{2} \omega^4 + a_{3} \omega^6 + \cdots + a_{200} \omega^{400} \)

三式相加：

\( \displaystyle 2^{200} + (-\omega^2)^{200} + (-\omega)^{200} = 3( a_{0} + a_{3} + \cdots + a_{198} ) \)

\( \displaystyle \sum_{k=0}^{66} a_{3k} = \frac{ 2^{200} + \omega + \omega^2 }{3} = \frac{ 2^{200} - 1 }{3} \quad \Rightarrow \quad \sum_{k=1}^{66} a_{3k} = \frac{ 2^{200} - 1 }{3} - 1 = \frac{ 2^{200} - 4 }{3} \)。

謝謝koeagle老師詳細的講解,十分感謝