99南港高工

是滴，小錯誤已修改。：Ｄ

第 13 題：一個最簡分數等於分母分別為 600 及700 的兩個最簡分數的和，求這樣的最簡分數的分母的最小值。

解答：

依題意令   \(x,y\in\mathbb{N}\)　滿足　\(\displaystyle\frac{x}{600},  \frac{y}{700}\) 皆為最簡分數

觀察　\(\displaystyle \frac{x}{600}+\frac{y}{700}=\frac{7x+6y}{4200}\)



因為 \(\displaystyle\frac{x}{600}\) 為最簡分數，所以 \(x\) 沒有 \(2,3,5\) 的因數

因為 \(\displaystyle \frac{y}{700}\) 為最簡分數，所以 \(y\) 沒有 \(2,5,7\) 的因數





\(4200 = 2^3\times 3\times 5^2\times 7\)

因為 \(7x\) 有 \(7\) 的因數，且 \(6y\) 沒有 \(7\) 的因數，

所以 \(7x+6y\) 被 \(7\) 除時，必無法整除



因為 \(6y\) 有 \(2,3\) 的因數，且 \(7x\) 沒有 \(2,3\) 的因數，

所以 \(7x+6y\) 被 \(2,3\) 除時，必無法整除




討論至此，可以發現分母 \(4200\) 裡面的 \(2,3,7\) 都不可能與分子相消

因此只要費心取適當的 \(x,y\) 使得 \(7x+6y\) 有 \(5^2\) 的因數

使其可以與分母消掉 \(5^2\) 就會有最小的分母了，

在此取 \(\displaystyle x=1,y=3\Rightarrow 7x+6y=25\Rightarrow \frac{7x+6y}{4200}=\frac{1}{168}\)



故，所求分母的最小值為 \(168.\)

想請教想了很久, 還是想不出來的第14題,謝謝

第 14 題：已知函數 \(f(x+1)\) 及 \(f(x−1)\) 都是奇函數，且 \(f(2) = 3\)，求 \(f(−50)\) 的值。

解答：

\(f(x+1)\) 為奇函數 \(\Rightarrow f(x+1)=-f(-x+1) \Rightarrow f(x)=-f(-x+2)\)

\(f(x-1)\) 為奇函數 \(\Rightarrow f(x-1)=-f(-x-1)\Rightarrow f(x)=-f(-x-2)\)

因此 \(f(-x+2)=f(-x-2)\)

\(\Rightarrow f(x+2)=f(x-2)\)

\(\Rightarrow f(x)=f(x+4)\)

\(\Rightarrow f(-50)=f(-46)=f(-42)=\cdots=f(-2)=f(2)=3.\)

請教一下14題奇函數的觀念
我令t=x+1
因為奇函數
所以f(t)=-f(-t)
所以f(x+1)=-f(-x-1)
請問這樣觀念是哪裡出出錯
先謝謝囉！

題目說 \(f(x+1)\) 是奇函數，並不表示 \(f(x)\) 是奇函數，

例如，若 \(f(x+1)=x^3\)，則 \(f(x)=(x-1)^3=x^3-3x^2+3x-1\)

此例，即是 \(f(x+1)\) 是奇函數，但 \(f(x)\) 不是奇函數。