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99松山工農

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原帖由 bugmens 於 2010-6-16 11:43 PM 發表
2.設\( \overline{AB} \)的長度為d,P是以\( \overline{AB} \)為直徑的半圓上的一個動點,且\( ∠PAB=\theta \)。令\( \overline{PA}+\overline{PB}=x \)
(1)將\( sin^6 \theta+cos^6 \theta \)表示成x的函數。(2)求 ...
想請問各位老師,第2題的x函數,我將f(x)作微分找到x=0或+-d,可是,PA+PB=0,必錯,那PA+PB=d,就無法形成三角形了,請問該如何求得最小值,謝謝

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第2題:設 \( \overline{AB}\) 的長度為 \(d\),\(P\) 是以 \(\overline{AB}\) 為直徑的半圓上的一個動點,且 \( ∠PAB=\theta \)。令 \(\overline{PA}+\overline{PB}=x \),

(1) 將 \( \sin^6 \theta+\cos^6 \theta \) 表示成 \(x\) 的函數。

(2) 求 \(\sin^6 \theta+\cos^6 \theta \) 的最小值,並求此時 \(\theta\) 和 \(x\) 的值。



解答:

\(\displaystyle x=d\cos\theta+d\sin\theta\Rightarrow \frac{x}{d}=\sin\theta+\cos\theta\leq\sqrt{2}\)

且由 \(\displaystyle x\geq d>0\) ,可得 \(\displaystyle 1\leq\frac{x}{d}\leq\sqrt{2}\Rightarrow1\leq\frac{x^2}{d^2}\leq2.\)



\(\sin^6\theta+\cos^6\theta=\left(\sin^2\theta+\cos^2\theta\right)^3-3\sin^2\theta\cos^2\theta\left(\sin^2\theta+\cos^2\theta\right)\)

  \(\displaystyle=1-3\sin^2\theta\cos^2\theta=1-3\left(\frac{\left(\sin\theta+\cos\theta\right)^2-1}{2}\right)^2=-\frac{3}{4}\left(\frac{x^2}{d^2}-1\right)^2+1\)



故,

當 \(x=d\) 時,\(\sin^6 \theta+\cos^6 \theta \) 有最大值為 \(1\)。

當 \(x=\sqrt{2}d\) 時,\(\sin^6 \theta+\cos^6 \theta \) 有最小值,

  此時 \(\sin\theta+\cos\theta=\sqrt{2}\),且由 \(0^\circ\leq\theta\leq90^\circ\),

  可得 \(\theta=45^\circ\),且 \(\sin^6 \theta+\cos^6 \theta \) 的最小值為 \(\displaystyle\sin^6 45^\circ+\cos^6 45^\circ=\frac{1}{4}\)。

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2012-1-1 00:22

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請教第五題, w是 1 的立方根,不是應該會有三種情形? 另外兩個就如同 瑋岳老師的解法,但若w=1時,則該如何知道那三點會形成正三角形?

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回復 13# mathelimit 的帖子

題目出錯了,應為 w 是 1 的"虛"立方根

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第八題不等式另解 不曉得這樣的寫法有無哪些地方不合理
小弟拙見 還望版上大師賜教

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