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遞迴數列問題

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遞迴數列問題

兩數列\( \langle\; a_n \rangle\; \)、\( \langle\; b_n \rangle\; \),若\( a_1=1 \),\( b_1=1 \),且\( \displaystyle \cases{a_{n+1}=a_n-2 b_n \cr b_{n+1}=a_n+4b_n} \),\( \forall n \in N \),求\( a_n= \)?\( b_n= \)?

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高中數學101 第89單元 矩陣(二)逆矩陣
就有這題答案

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抱歉,我去找那本書的解答,還是不太懂,
先列出A的特徵方程式後解為2或3,為什麼就知道如何取B?

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若 \(A\) 是可對角化矩陣,則存在 可逆矩陣 \(P\) ,此得 \(B=P^{-1}AP\) 為對角化矩陣(註:\(A\) 與 \(B\) 相似),

其中 \(B\) 的對角線位置的數值就是 \(A\) 的特徵值(兩相似矩陣之特徵值相同),

而 \(P\) 的行向量則是與個特徵值對應的特徵向量。

利用 \(A=PBP^{-1} \Rightarrow A^n = PB^nP^{-1}\),

這樣算 \(A\) 的高次方就會變得很快。

註:至於要證明對角化步驟何以是這樣,可以翻閱線性代數的書籍。

  或是跟我一樣線代課本不在手邊的話,可以網路搜尋到的資料:http://web.math.isu.edu.tw/lyhsi ... bra/Chapter%207.ppt

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