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證\(<\sqrt[n]{n}>_{n=3}^\infty\) 是遞減的數列

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證\(<\sqrt[n]{n}>_{n=3}^\infty\) 是遞減的數列

求證數列 \(<\sqrt[n]{n}>_{n=3}^\infty\) 是遞減的數列。




先分析一下

題目要求證,對任意正整數 \(n\geq 3\),恆有

\(\displaystyle n^{\frac{1}{n}}>(n+1)^{\frac{1}{n+1}} \Leftrightarrow  \ln\left( n^{\frac{1}{n}}\right)>\ln\left((n+1)^{\frac{1}{n+1}}\right) \Leftrightarrow \frac{1}{n}\cdot \ln\left(n\right) > \frac{1}{n+1} \ln\left(n+1\right)\)





證明:

令 \(\displaystyle f(x)=\frac{\ln\left(x\right)}{x}\),則

\(\displaystyle f'(x)=\frac{\frac{1}{x}\cdot x - \ln\left(x\right)\cdot 1}{x^2} = \frac{1-\ln\left(x\right)}{x^2}\)

因此對任意 \(x>e\),恆有 \(f'(x)<0\),

所以 \(f(x)\) 在 \(x>e\) 時為遞減函數,

故 \(f(3)>f(4)>f(5)>\cdots\),

亦即數列 \(<\sqrt[n]{n}>_{n=3}^\infty\) 是遞減的數列。











相似的練習題:(來源出處:林信安老師 → 一般課程 → 微積分講義 → 指對數函數的微分積分
例題 5.
  (1) 若 \(x>0\),試証 \(\displaystyle \ln\left(1+x\right)>\frac{x}{1+x}\) 。

  (2) 當 \(x>0\) 時,試討論 \(\displaystyle f(x)=\frac{\ln\left(1+x\right)}{x}\) 的增減情形。

  (3) 若 \(0<a<b\),試比較 \(\displaystyle \left(1+a\right)^b\) 與 \(\displaystyle \left(1+b\right)^a\) 之大小。

另外,其綜合練習部分也有類題。

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不好意思,想請教一下第三小題, 0<a<b,試比較 (1+a)^b  與 (1+b)^a  之大小。
要怎麼說明?想仿照前兩題的寫法,但是寫不太出來。
謝謝

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回復 2# best2218 的帖子

第三小題要 "利用" 第二小題的結果,

不是 "仿照" 前兩小題的方法。



由第二小題「結果」,可知當 \(x>0\) 時,\(\displaystyle f(x)=\frac{\ln\left(1+x\right)}{x}\) 為嚴格遞減函數。

即當 \(0<a<b\) 時,恆有 \(\displaystyle \frac{\ln\left(1+a\right)}{a}>\frac{\ln\left(1+b\right)}{b}\)

           \(\displaystyle \Leftrightarrow b\ln\left(1+a\right)>a\ln\left(1+b\right)\)

           \(\displaystyle \Leftrightarrow \ln\left(1+a\right)^b>\ln\left(1+b\right)^a\)

           \(\displaystyle \Leftrightarrow \left(1+a\right)^b>\left(1+b\right)^a\)

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我知道了,謝謝!
自己的腦筋太死了

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回復 1# weiye 的帖子

請問老師
關於類似的練習題(1)
目前只想到利用x>0時,\( \frac{1}{1+x} > \frac{1}{(1+x)^{2}}  \)  
故\( \int_  \frac{1}{1+x}  dx > \int_  \frac{1}{(1+x)^2}   dx  \)  
得\( ln(1+x)> \frac{x}{(1+x)}  \)  

這樣的作法對嗎?有沒有更直觀的方法?

[ 本帖最後由 CyberCat 於 2016-5-9 12:01 PM 編輯 ]

看來豈是尋常色   濃淡由他冰雪中

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回復 5# CyberCat 的帖子

左邊大於右邊,不表示積分後左邊也會大於右邊。

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令 \(\displaystyle g(x)=\ln\left(1+x\right)-\frac{x}{1+x}\),則 \(\displaystyle g '(x) = \frac{x}{\left(1+x\right)^2}\)

\(\Rightarrow g '(x)>0, \forall x>0\), 且 \(g(x)\) 在 \(x=0\) 處連續,

\(\Rightarrow g(x)\) 在 \(x\geq0\) 時為嚴格遞增函數,

\(\Rightarrow g(x)>g(0), \forall x>0\)

且因為 \(g(0)=0\),所以 \(g(x)>0, \forall x>0\)

\(\displaystyle \Rightarrow \ln\left(1+x\right)-\frac{x}{1+x}>0, \forall x>0\)

\(\displaystyle \Rightarrow \ln\left(1+x\right)>\frac{x}{1+x}, \forall x>0\)

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以前有看過用算幾不等式證明: n ∈ N,數列  [1 + (1/n) ] ⁿ  遞增。現在看到這題,也來嘗試用算幾不等式。

原題欲證: n^(1/n) > (n+1)^[1/(n+1)]    (n ≥ 3,n ∈ N)

等同於 n > [ (n+1)ⁿ ] ^ [1/(n+1)]   (兩側同予 n 次方)

把右式作為 (n+1) 個正數的幾何平均,容易想到取 n 個 (n+1) 與 1 個 1,但這樣設計的算數平均太大了。為了"放縮"得小些,嘗試"平均一點",把右式取幾何平均的 (n+1) 個正數設為:  (n-1) 個 (n+1) 與 2 個 √(n+1)。則根據算幾不等式:

n - 1 + 2/√(n+1) > [ (n+1)ⁿ ] ^ [1/(n+1)]  (等號不會成立)

又當 n ≥ 3 2 /√(n+1) ≤ 1,n > [ (n+1)ⁿ ] ^ [1/(n+1)],原題亦得證。

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回復 6# weiye 的帖子

感謝weiye老師解惑並點出我的錯誤
想確認知道自己的錯誤,是不是錯在不定積分的部份?
如果是相同的上下限作定積分(a<b)從a積到b,這樣不等式成立嗎?
可以改成做定積分0至v,其中v>0,使的不等式成立,這樣寫適合嗎?

也謝謝7樓的C大提供一樓題目的另一個解法
巧妙的使用 當 \(n\geq3 \)時 n > \( \ (n-1)+\frac{2}{\sqrt{n+1}}  \)  作為不等式中間的媒介
將 \( (n+1)^{\frac{n+1}{n}} \) 拆成n-1個n+1跟2個\( \sqrt{n+1} \) 的想法,真的很有趣

[ 本帖最後由 CyberCat 於 2016-5-14 01:48 AM 編輯 ]

看來豈是尋常色   濃淡由他冰雪中

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