發新話題
打印

請問一題函數圖形交點的題目

請問一題函數圖形交點的題目

\( f(x)=2sin^2 x+2 sin x+1 \),\( g(x)=2sin^2 x+k(1+sin x)-1 \),其中\( \displaystyle -\frac{\pi}{2}<x<\frac{\pi}{2} \),若\( y=f(x) \)與\( y=g(x) \)圖形恰有一交點時,實數k的範圍為\( k<m \),求m之值為?

TOP

題目:

\(\displaystyle f(x)=2\sin^2 x+2\sin x+1, g(x)=2\sin^2 x+k(1+\sin x)-1\),其中\(\displaystyle -\frac{\pi }{2}<x<\frac{\pi }{2}\),

若 \(y=f(x)\) 與 \(y=g(x)\) 圖形恰有一交點時,實數 \(k\) 的範圍為 \(k<m\),求 \(m\) 之值為?


解題:

解聯立方程式 \(y=f(x)\) 與 \(y=g(x)\),得

\[2\sin^2 x+2\sin x+1=2\sin^2 x+k(1+\sin x)-1.\]

\[\Rightarrow 2\left(\sin x+1\right)=k\left(1+\sin x\right).\]

\[\Rightarrow \left(2-k\right)\left(\sin x+1\right)=0.\]

因為 \(\displaystyle -\frac{\pi }{2}<x<\frac{\pi }{2}\),所以 \(\sin x +1\neq 0\),

\[\Rightarrow k-2=0.\]

\[\Rightarrow k=2.\]

因此,

若 \(k=2\),則 \(x\) 的解為 \(\displaystyle x\in\left(-\frac{\pi }{2}, \frac{\pi }{2}\right)\)。

若 \(k\neq2\),則 \(x\) 無實數解。





------

不管 \(k\) 為何值,\(x\) 似乎不會有唯一解耶。

(如果算式或想法有誤,歡迎指正,感謝。:-p)

多喝水。

TOP

從圖看起來都會過\( \displaystyle ( \frac{-\pi}{2},1 ) \)
假如改成\( y=2sin(x)^2+(k+1)sin(x)-1 \)就有答案了

附件

01.10.gif (205.4 KB)

2010-1-10 22:15

01.10.gif

TOP

回復 3# bugmens 的帖子

謝謝weiye老師與bugmens老師!!

TOP

發新話題