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[線代] Trace 的一些特性

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[線代] Trace 的一些特性

1. tr(AB)=tr(BA)
 證明提示:把 A,B 分別拆成 row vectors 及 column vectors ,在套用矩陣乘法及複數系的乘法交換律。

2. 設 A~B(A and B are similar ,即存在 P invertible 使得 A=P^-1AP),則 tr(A)=tr(B)
 證明提示:套用 tr(AB)=tr(BA) 之特性,trivial。

3. tr(A) = A 所有 eign value 之和。
 提示:承上,trivial。

4. det(A) = A 所有 eign value 之積。
 提示:仿 2 推至 3 ,trivial.

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5. 已知 A, B 皆屬於 R^{n*n} ,試証: {tr(AB^t)}^2 ≦tr(AA^t) tr(BB^t)
 證明:有空補上。

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