圓方程式，求圓心
在平面上有點 \(\displaystyle A(1, \sqrt{3}) B(1, -\sqrt{3})\)，點 \(\displaystyle P\) 在線段 \(\displaystyle \overline{AB}\) 上，點 \(\displaystyle P'\) 在 \(\displaystyle y\) 軸的右側，
滿足 \(\displaystyle O,P,P'\) 三點共線且 \(\displaystyle \overline{OP}\times\overline{OP'}=4\)。
求證：\(\displaystyle P'\) 軌跡在某一個圓周上，並求其圓心.
證明：
設 \(\displaystyle \overleftrightarrow{OP}\) 的斜率為 \(\displaystyle m\)，則
\(\displaystyle P(1,m)\)，且 \(\displaystyle \overline{OP}=\sqrt{1+m^2}\Rightarrow \overline{OP'}=\frac{4}{\sqrt{1+m^2}}\)，
令 \(\displaystyle P'(x,y)\)，則 \(\displaystyle y=mx\)，帶入 \(\displaystyle \overline{OP'}=\frac{4}{\sqrt{1+m^2}}\Rightarrow x\sqrt{1+m^2}=\frac{4}{\sqrt{1+m^2}}\)，
可得 \(\displaystyle x(1+m^2)=4\)，由 \(\displaystyle y=mx\Rightarrow m=\frac{y}{x}\)，
可得 \(\displaystyle x\left(1+\frac{y^2}{x^2}\right)=4\)，化簡可得 \(\displaystyle \left(x-2\right)^2+y^2=4\)，
故 \(\displaystyle P'\) 在圓 \(\displaystyle \left(x-2\right)^2+y^2=4\) 的圓周上。
此圓的圓心坐標 \((2,0)\)，半徑為 \(2\)。
Note: 但在圓周上的卻不一定都是 \(P'\) 點喔。
