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請教一題極限問題

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請教一題極限問題

\(n=\frac{1}{t}\)

若n→0  ,則t→∞

這樣一定成立嗎 ?

請教下題極限值
\( \lim_{n\rightarrow0 }   { \left (   { 2}^{ n}+ { 3}^{ n}   \right ) }^{ \frac{1 }{ n}  } \)

[ 本帖最後由 Isaac 於 2009-10-2 10:13 AM 編輯 ]

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1. 若 \(n\to0\),則 \(\displaystyle t=\frac{1}{n}\to\pm\infty\)


2.

\(\displaystyle \lim_{n\to 0}\left(2^n+3^n\right)^{\frac{1}{n}}
=\lim_{n\to 0} e^{\ln \left( 2^n+3^n \right)^{\frac{1}{n}}}
=\lim_{n\to 0} e^{\frac{1}{n}\ln \left( 2^n+3^n \right)}
=e^{\lim_{n\to 0}\frac{\ln \left( 2^n+3^n \right)}{n} }\)(因為 \(e^x\) 為連續函數)


其中指數的地方,因為 \(\ln x\) 為連續函數,所以 \(\displaystyle\lim_{n\to 0}\ln \left( 2^n+3^n  \right)=\ln \left( \lim_{n\to 0}\left( 2^n+3^n  \right) \right)=\ln 2\),

因此 \(\displaystyle \lim_{n\to 0^+}\frac{\ln \left( 2^n+3^n  \right)}{n}=\infty \)  且  \(\displaystyle \lim_{n\to 0^-}\frac{\ln \left( 2^n+3^n  \right)}{n}=-\infty \)

故,\(\displaystyle \lim_{n\to 0^+}{{\left( 2^n+3^n  \right)}^{\frac{1}{n}}}={{e}^{\lim_{n\to 0^+}\frac{\ln \left( 2^n+3^n  \right)}{n}}}={{e}^{\infty }}=\infty \)  且  \(\displaystyle \lim_{n\to 0^-}{{\left( 2^n+3^n  \right)}^{\frac{1}{n}}}={{e}^{\lim_{n\to 0^-}\frac{\ln \left( 2^n+3^n  \right)}{n}}}={{e}^{-\infty }}=0\)

因此,\(\displaystyle \lim_{n\to 0} \left( 2^n+3^n  \right)^{\frac{1}{n}}\)  不存在。



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不知如此想法是否有疏漏,歡迎一起討論。 :-)

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