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98玉井工商

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18.
\( a( \alpha),B( \beta),C( \gamma) \)為複數平面上三相異點,滿足\( |\; \alpha-\beta |\; =2 \),且\( \alpha-2\beta+\gamma=\sqrt{3}i (\beta-\gamma) \),求\( \overline{AC}= \)?
[解答]
\( \alpha-\beta=(1+\sqrt{3}i )( \beta-\gamma) \) , \( |\; \beta-\gamma |\;=1 \)
\( \alpha-\gamma=(2+\sqrt{3}i )(\beta-\gamma) \) , \( |\; \alpha-\gamma |\; =\sqrt{7} \)

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第 16 題:若 \(a,a,b,b,c,c\) 六個字母依直線任意排列,試問同字母均不相鄰的機率為?

解答:

分母=\(\displaystyle\frac{6!}{2!2!2!}=90.\)

分子=n(任排) - n(至少有一組符號相鄰) + n(至少有兩組符號相鄰) - n(三組符號都相鄰)

  =\(\displaystyle\frac{6!}{2!2!2!}-C^3_1\times\frac{5!}{2!2!}+C^3_2\times\frac{4!}{2!}-C^3_3\times3!=30.\)

所求\(\displaystyle=\frac{30}{90}=\frac{1}{3}.\)

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第 2 題:若矩陣 \(\displaystyle \left[\begin{array}{cc}\displaystyle \sin\frac{\pi}{3}&-\cos\frac{\pi}{3}\\ \cos\frac{\pi}{3}&\sin\frac{\pi}{3}\end{array}\right]^n=\left[\begin{array}{cc}\displaystyle 1&0\\ 0&1\end{array}\right]\) 的最小自然數 \(n=\)?

解答:

\(\displaystyle \left[\begin{array}{cc}\displaystyle \sin\frac{\pi}{3}&-\cos\frac{\pi}{3}\\ \cos\frac{\pi}{3}&\sin\frac{\pi}{3}\end{array}\right]^n=\left[\begin{array}{cc}\displaystyle \cos\left(\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{3}\right)&-\sin\left(\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{3}\right)\\ \sin\left(\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{3}\right)&\cos\left(\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{3}\right)\end{array}\right]^n=\left[\begin{array}{cc}\displaystyle \cos\frac{n\pi}{6}&-\sin\frac{n\pi}{6}\\ \sin\frac{n\pi}{6}&\cos\frac{n\pi}{6}\end{array}\right]\)



所以,當 \(\displaystyle\frac{n\pi}{6}=2k\pi,\,k\in\mathbb{Z}\) 時,題目要求的等式才會成立。

故,\(n\) 之最小正整數值為 \(12.\)

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引用:
原帖由 weiye 於 2010-8-27 10:20 PM 發表
第 2 題:若矩陣 \(\displaystyle \left[\begin{array}{cc}\displaystyle \sin\frac{\pi}{3}&-\cos\frac{\pi}{3}\\ \cos\frac{\pi}{3}&\sin\frac{\pi}{3}\end{array}\right]^n=\)...
對喔,餘角關係,我在想什麼? 謝謝版大和weiye大

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請教填充第八題。
為何150度不可以?
謝謝

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回復 15# johncai 的帖子

8.
\(\Delta ABC\)中,若\(4sinA+3cosB=6\),\(3sinB+4cosA=1\),則\(∠C=\)?
[解答]
\(4\sin A+3\cos B=6\)

\(\displaystyle \Rightarrow \sin A=\frac{6-3\cos B}{4}\geq\frac{3}{4}>\frac{1}{2}\)

\(\Rightarrow \angle A>30^\circ\)

因此 \(\angle C<150^\circ\)

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想問第三題
這題應該是假設前半部\(A\)後半部\(B\)
考慮\(A^2+B^2\)和\(A^2B^2\)來處理吧

但不知道為何一直算不出公布的答案\(\sqrt{2}\)

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3.
\(\sqrt{log_3 \sqrt{6}+\sqrt{log_3 2}}+\sqrt{log_3 \sqrt{6}-\sqrt{log_3 2}}=\)?
[解答]
下面\(A,B\)沒有定義的很嚴謹,看得懂就好
\(\sqrt{A}+\sqrt{B}=\sqrt{A+B+2\sqrt{AB}}\)
\(\displaystyle A+B=\log_3\sqrt{6}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\log_32\)
\(\displaystyle AB=\frac{1}{4}\log_32\)
不難看出\(\displaystyle (A,B)=(\frac{1}{2},\frac{1}{2}\log_32)\)

(補)試了一下你說的也行
\(A^2+B^2=\log_36=1+\log_32=1+t\)
\(\displaystyle AB=\sqrt{(\frac{1}{2}(1+\log_32))^2-\log_32}\)
\(\displaystyle =\sqrt{\frac{1}{4}t^2-\frac{1}{2}t+\frac{1}{4}}=\frac{1}{2}(1-t)\)
\(A^2+2AB+B^2=2,A+B=\sqrt{2}\)

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回復 18# BambooLotus 的帖子

謝謝
我把AB部分寫太複雜了
您的方式一目了然

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