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98全國聯招

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04數學科.pdf (148.75 KB)

2009-6-27 14:08, 下載次數: 12463

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請問最後一題要怎麼做呢?

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美夢成真論壇討論文章 http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?f=10&t=1410



1.
一長廊有30盞燈排成一列,依序編號為1,2,3,...,30,開始全部是關的,今有30人依次通過。第一人通過時,將全部的燈打開;第二人通過時,將燈號為2之倍數者關上;第三人通過時,將燈號為3之倍數者改變狀態(開者關上,關者打開);...;第n人通過時,將燈號為n之倍數者改變狀態。今30通過後,共有多少盞燈最後是開的?(A)4 (B)5 (C)6 (D)7
https://math.pro/db/thread-786-1-1.html
(96淡水商工,98和美實驗學校)

2009.10.5補充
有編號1到60的60個抽屜,及60個人,第1個人將所有抽屜關上,第2個人將2,4,6,8,...,60號抽屜打開,第3個人將3,6,9,12,...,60號抽屜原來關著打開,原來開著的關上,第k個人將k,2k,3k,...號抽屜中原來關著的打開,原來開著的關上,一直到第60個人為止,則   
(1)第20號抽屜是關著的 (2)第25號抽屜是關著的 (3)第60號抽屜是關著的 (4)第53號抽屜是關著的
http://web.tcfsh.tc.edu.tw/jflai/math5/ra/RA122.pdf

2009.10.10補充
設有n個珍珠寶盒,各編號1,2,…,n。令K號寶盒含有K個珍珠。另有n張紙牌,各編號1,2,…,n。首先將n個寶盒全部關閉,並隨意抽出一張紙牌,抽出後不再放回。若第一次抽中K號紙牌,則編號為K的倍數的寶盒打開,其餘保持不動。接著抽出L號紙牌時,編號為L的倍數的寶盒作相反動作(即原先打開的關閉,原先關閉的打開),其餘保持不動;試問當n張紙牌全部抽完後,仍然打開的寶盒有幾個?且其珍珠總數為何?
(90學年度高中數學能力競賽 台中區複賽試題(一))
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=680&page=3#pid9514

2009.10.18補充
一監獄的牢房剛好排成一列,牢房編號由1,2,3,...,n。另有n張編號為1,2,3,...,n的紙牌。首先將所有牢房的門都關著,並隨意抽出一張紙牌,抽後不再放回。若第一次抽中k號紙牌,則編號為k的倍數的牢房打開,其餘保持不動。接著抽中d號紙牌,則編號為d的倍數的牢房作相反動作(即原先打開的關閉,原先關閉的打開),其餘保持不動。
試問:當n張紙牌完全抽完後,有幾間牢房是開著?
(94蘭陽女中)

2010.2.19補充
拿100個杯子分別標上1到100號,一開始全部杯口朝上,編號2的倍數的杯子翻轉一次使杯口朝下,再接著編號3的倍數的杯子又翻轉一次,使杯口朝向改變,依此規則下去直到編號100的倍數的杯子翻轉完,請問此時杯口朝上的杯子有幾個?(A)1 (B)6 (C)8 (D)10個。
(92台南縣國中聯招)

2010.6.19補充
一百盞燈分別標上號碼: 1,2,3,…100. 設每盞燈的設計皆是:若原來是關閉的狀態,拉第一下是大亮, 拉第二下是小亮, 拉第三下是關閉.現在這一百盞燈都是關閉的狀態,第一個人把每盞燈都拉一下, 第二個人把標號是2的倍數的燈都拉一下, 第三個人把標號是3的倍數的燈都拉一下,依此類推,直至第一百個人把標號是100的燈拉一下, 試問最後有哪幾盞燈是關閉的狀態?
(建中通訊解題第48期)

2012.1.10補充
一間木櫃有n個抽屜,分別標上1~n的號碼,並將其全部鎖上,現在依下列的操作方式改變其狀態:
(所謂改變抽屜的狀態,就是原來是開的變成鎖上,原來是鎖上的變成開的)
第1次將號碼被1整除的抽屜改變狀態。
第2次將號碼被2整除的抽屜改變狀態。
……….
第k次將號碼被k整除的抽屜改變狀態。
……….
請問經過n次操作後,哪些編號的抽屜是打開的?
(建中通訊解題第10期)

109.5.23補充
惡魔島上的監獄有2020間牢房關犯人,編號分別為1、2、3、4、…、2018、2019、2020.適臨總統就職,實施特赦,獄方決定以下列方式來釋放部分犯人:
•牢房開關按一次便打開,再按一次又關起來。
•現在,從第1間開始算,只要是1的倍數,全部按一次;
•然後,再從第2間開始,只要是2的倍數,再按一次。
•依此類推,第\(k\)間開始,只要是\(k\) 的倍數就再按一次。
•如此一直到2020 的倍數按完為止,仍開者便立即釋放。
請問最後被釋放的共有多少人?
(A) 40
(B) 42
(C) 44
(D) 46
(109臺北市國中聯招,https://math.pro/db/thread-3333-1-1.html)


7.
現有長度為12的線段,首先取去它的\( \displaystyle \frac{1}{2^2} \),然後再從剩下部份的線段取去它的\( \displaystyle \frac{1}{3^2} \),又再從剩下部份的線段取去它的\( \displaystyle \frac{1}{4^2} \),...,如此順次從所剩線段取去它的\( \displaystyle \frac{1}{n^2} \),則剩下的線段長最後會趨近於多少?(A)3 (B)4 (C)6 (D)8
http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?f=53&t=426


8.
若與拋物線\(y=x^{2}\)及直線\( y=0 \)均相切之圓的圓心為P點,則P點坐標不可能是(A)\( (0,3) \) (B)\( (\ \sqrt{2},3)\ \) (C)\( (\ \frac{3 \sqrt{6}}{5},3)\ \) (D)\( (\ \frac{5 \sqrt{15}}{4},3 )\ \)
[解答]
設圓方程式為\( (\ x-t)^{2}+(\ y-3 )^{2}=9 \),和\( y=x^{2} \)相切
用\( y=x^2 \)代入化簡為\( x^{4}-5x^{2}-2tx+t^{2}=0 \)
因為相切所以此方程式至少有兩相等實根,設此實根為p
則\( f(p)=p^4-5p^2-2tp+t^2=0 \),\( f'(p)=4p^3-10p-2t=0 \)
解得\( (\ p,t)\ =(\ 0,0 )\ ,(\ \sqrt{2},-\sqrt{2} )\ ,(\ -\sqrt{2},\sqrt{2} )\ ,(\ \frac{\sqrt{15}}{2},\frac{5\sqrt{15}}{4} )\ ,(\ -\frac{\sqrt{15}}{2},-\frac{5\sqrt{15}}{4} )\ \)

設圓\( x^2+(y-a)^2=1 \)與拋物線\( y=2x^2 \)相切,則a的值為。
(92學年度高中數學能力競賽 北區 第一區(花蓮高中))
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=680&page=3#pid9514

[ 本帖最後由 bugmens 於 2015-3-30 10:33 PM 編輯 ]

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2009-10-10 00:44

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4.有兩射線\( \overline{OX} \),\( \overline{OY} \)夾角\( 60^o \),P為∠XOY內部一點,\( \overline{OP}=10 \),今欲在\( \overline{OX} \)上取一點A,\( \overline{OY} \)上取一點B,使△PAB之周長最小,若△PAB之最小周長為t,則(A)\( 16<t<17 \) (B)\( 17<t<18 \) (C)\( 18<t<19 \) (D)\( 19<t<20 \)
[提示]
對P作對稱點Q,R,QR就是△PAB之最小周長

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2009-11-13 21:32

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回復 2# omfun 的帖子

雖然有點舊了…

這是今天在整理部落格裡的東西,看到的,順便又弄了一個新的作法,順帶把它放上來。這招去頭去尾法已經好幾年沒用了

令 \( f=x^{4}-5x^{2}-2ax+a^{2}\), \( g=2x^{3}-5x-a \),

\( r_{1}=\frac{f+ag}{x}=x^{3}+2ax^{2}-5x-7a,\,  r_{2}=2f-xg=-5x^{2}-3ax+2a^{2} \),

\( r_{3}=\frac{7g-r_{1}}{x}=13x^{2}-2ax-30 \),

\( r_{4}=13r_{2}+5r_{3}=-49ax+26a^{2}-150 \),

\( r_{5}=2r_{2}-3r_{3}=-49x^{2}+4a^{2}+90 \),

若 \( a=0 \),則 \( x\mid(f,g) \),

若 \( a\neq0 \),\( x=\frac{26a^{2}-150}{49} \) 代入 \( r_{5} \)

得 \( 750-407a^{2}+16a^{4}=0 \).

所以 \( a=0, \pm\sqrt{2} \) 或 \( \pm\frac{5\sqrt{15}}{4}\).

舊的作法是暴力的輾轉相除搞的,在我的部落格裡 方寸之地

[ 本帖最後由 tsusy 於 2011-10-15 12:33 PM 編輯 ]
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想請教我的作法為什麼作不出來正負根號2的那組答案...謝謝~~~

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2015-3-1 22:45

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回復 6# idontnow90 的帖子

8. 看起來是 \( \overline{AB} \) 的地方漏了絕對值,

應該是圖形上,少考慮到圓和拋物線、x 軸相切在左右不同邊的關係
網頁方程式編輯 imatheq

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thx, 我算出來了~~

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回復 3# bugmens 的帖子

請問第8題,為什麼相切(至少有兩相等實根)就可以微分等於零,而不能做二次微分,感謝。

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回復 9# mathca 的帖子

把\(f\left( x \right)={{\left( x-p \right)}^{2}}\left( {{x}^{2}}+2px+\frac{{{t}^{2}}}{{{p}^{2}}} \right)\)微微看就知道了

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