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請教一題四次多項式

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請教一題四次多項式

m 為實數,已知四次多項式\(3x^{4}-4mx^{3}+1=0\)無實根,求m的範圍?

令\(f(x)=3x^{4}-4mx^{3}+1\)

    \(f'(x)=12x^{3}-12mx^{2}=0\)

    \(x=0,0,m\)

     \(x=0\)時,\(f(0)=1\),可知\(f(x)\)恆正

    1.\(m<0\)
      
       \(f(m)>0\)

       \(f(m)=3m^{4}-4m^{4}+1>0\)

       \((m^{2}+1)(m+1)(m-1)<0\)

       \(-1<m<1\) → \(-1<m<0\)

     2.\(m>0\)
      
       \(f(m)>0\)

       \(f(m)=3m^{4}-4m^{4}+1>0\)

       \((m^{2}+1)(m+1)(m-1)<0\)

       \(-1<m<1\) → \(0<m<1\)

由以上得\(-1<m<1\)

請問這樣解法正確嗎?

是否還其他方法呢?


[ 本帖最後由 Isaac 於 2009-6-16 05:56 PM 編輯 ]

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不用分 1,2 呀,首項係數為正的四次函數 \(f(x)=3x^4-mx^3+1\),

由 \(f'(x)=0\Rightarrow x=0,0,m\)

只要保證這"唯二"的兩個可能的最低點 \((0,f(0)),\; (m,f(m))\) 都在 \(x\) 軸上方,

則整個四次多項式函數的圖形 \(y=f(x)\) 就不會跟 \(x\) 軸有交點了。

亦即 \(f(0)=1>0\) 且 \(f(m)>0\;\Rightarrow -1<m<1.\)


另解:

同樣令 \(f(x)=3x^4-mx^3+1.\)

當 \(x=0\) 時,\(f(0)=1\neq0.\)

當 \(x\neq0\) 時,要求讓 \(f(x)=3x^4-mx^3+1=0\) 無實數解的 \(m\) 之範圍,

  同除 \(x^3\),可得 \(\displaystyle m=\frac{3x+\frac{1}{x^3}}{4}.\)

  當 \(x>0\) 時,由算幾不等式可得 \(\displaystyle \frac{x+x+x+\frac{1}{x^3}}{4}\geq \sqrt[4]{x\cdot x\cdot x\cdot \frac{1}{x^3}}=1\)

    故,\(m<1\),可以保證 \(f(x)=0\) 沒有正根.

  當 \(x<0\) 時,由算幾不等式可得 \(\displaystyle \frac{(-x)+(-x)+(-x)+\left(-\frac{1}{x^3}\right)}{4}\geq \sqrt[4]{(-x)\cdot (-x)\cdot (-x)\cdot \left(-\frac{1}{x^3}\right)}=1\)

    故,\((-m)<1\Leftrightarrow m>-1\),可以保證 \(f(x)=0\) 沒有負根.

故,\(-1<m<1\) 時,可以保證 \(f(x)=0\) 無實根.

Note: 沒記錯的話,這題應該是91年指考數學甲的題目.

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謝謝瑋岳老師~~受益良多

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