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過(3,4)求橢圓的切線方程式

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過(3,4)求橢圓的切線方程式

過\( (3,4) \)求\( \displaystyle \frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1 \)的切線方程式?

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\((3,4)\) 帶入橢圓方程式檢查,

發現點在橢圓外部,

所以有兩條切線。

設切線斜率為 \(m\),則

切線方程式為 \(y-4=m\left(x-3\right)\),

將 \(y=mx-3m+4\) 帶入橢圓方程式,

列出 \(x\) 的一元二次方程式,

相切 ⇒ 判別式\(=0\)

解出 \(m\),得切線方程式。

(如果上面解得到 \(m\) 的一次式,表示有其中一條切線是無斜率的,為鉛錘線。 )

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過\( (3,4) \)求\( \displaystyle \frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1 \)的切線方程式?

我若代公式\( y=mx \pm \sqrt{9m^2+4} \)
得\( \displaystyle y=\frac{1}{2}x \pm \frac{5}{2} \)但答案卻是錯的,錯在哪個環節。

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\((3,4)\) 帶入上式 \(y=mx\pm\sqrt{9m^2+4}\),化簡得到 \(m\) 的一次式,就可以知道其中有一條斜率不存在,

解此一次式得 \(\displaystyle m=\frac{1}{2}\),

帶回切線公式,

得切線 \(\displaystyle y=\frac{1}{2}x+\frac{5}{2}\) 或 \(\displaystyle y=\frac{1}{2}x-\frac{5}{2}\),

其中後者並不通過 \((3,4)\),

所以切線為 \(\displaystyle y=\frac{1}{2}x+\frac{5}{2}\)

以及沒有斜率的鉛錘線 \(x=3.\)

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老師謝謝
我懂了

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