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對數的題目,log x^n之尾數與log (1/x^n) 之尾數相等

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對數的題目,log x^n之尾數與log (1/x^n) 之尾數相等

設 \(n\) 為一已知正整數,\(\log x\) 之首數為 \(1\) ,\(\log x^n\) 之尾數與 \(\displaystyle \log \frac{1}{x^n}\) 之尾數相等,求滿足此條件之所有 \(x\) 值之總和.

解答:

令 \(\log x = 1 + a\),其中 \(0\leq a<1\),則

\[\log x^n - \log \frac{1}{x^n} = \left(n \log x\right) - \left( - n \log x\right) = 2n \log x = 2n\left(1+a\right) \mbox{ 為整數} \]

因此 \(2n\cdot a\) 為整數,

且由於 \(0\leq a<1\) 且 \(n\) 為正整數 \(\Rightarrow 0\leq 2n\cdot a<2n\),

所以 \(2n\cdot a = 0, 1, 2, \ldots, 2n-1\),亦即 \(\displaystyle a = 0, \frac{1}{2n}, \frac{2}{2n},\ldots, \frac{2n-1}{2n}.\)

故,所有滿足題意的 \(x\) 得和為

\[10^{ 1+ 0} + 10^{ 1+ \frac{1}{2n}}  + 10^{1+ \frac{2}{2n} } + \cdots+ 10^{ 1+ \frac{2n-1}{2n}}\]

這是一個有限項的等比級數,首項為 \(10\),公比為 \(10^{\frac{1}{2n}}\),項數為 \(2n\),

所以,

\[\mbox{所求}= \frac{10\left( \left(10^{\frac{1}{2n}}\right)^{2n} -1\right)}{10^{\frac{1}{2n}}-1} = \frac{90}{10^{\frac{1}{2n}}-1}.\]

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