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積分的題目,透過黎曼和求極限,與積分之間的轉換.

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積分的題目,透過黎曼和求極限,與積分之間的轉換.

若 \(\displaystyle x­_n=\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\cdots+\frac{1}{n+n}\),\(n\) 為自然數,試求 \(\lim\limits_{n\to\infty}x_n\).

解答:

先分析一般項,\(\displaystyle \frac{1}{n+k} = \frac{1}{n}\cdot\frac{1}{1+\frac{k}{n}},\;\forall\, 1\leq k\leq n.\)

所以令 \(\displaystyle f\left(x\right) = \frac{1}{1+x}\),則

\[x_n = \sum\limits_{k=1}^{n} f\left(\frac{k}{n}\right)\cdot\frac{1}{n}\]

此為,將 \(f\left(x\right)\) 定義域裡的 \([0,1]\) 區間分隔成等寬的 \(n\) 等份,所求得對應 \(n\) 個矩形的右黎曼和.

故,

\[\lim\limits_{n\to\infty}x_n = \int_0^1 f\left(x\right)dx = \int_0^1 \frac{dx}{1+x} = \Bigg.\ln\left(1+x\right)\Bigg|_0^1 = \ln2-\ln1=\ln2.\]

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97松農與97北縣國中第34題

老師寫的那題為(清大92科管丙)

補上使用黎曼和求無窮極限
97北縣國中第34題(成大92企管)

要當國中老師很難
要當高中老師更難啊
努力不夠 ,我要再加油

[ 本帖最後由 ksjeng 於 2009-6-28 11:46 PM 編輯 ]

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2009-6-28 22:53

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