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多項式的題目,實係數方程式的虛根成共軛對出現.

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多項式的題目,實係數方程式的虛根成共軛對出現.

設 \(a+b i\) 是實係數方程式 \(x^3+px+1=0\) 的一個虛根,則 \(x^3+px-1=0\) 的實根為何?(答案以 \(a,b\) 表示.)



解答:

因為實係數方程式的虛根會成共軛對出現,

所以,\(x^3+px+1=0\) 的一個另一個虛根為 \(a-bi\).

由利用根與係數關係式,可知道 \(x^3+px+1=0\) 的 \(\mbox{三根之和} = -(\mbox{二次項系數})\)

所以 \((a+bi) + (a-bi) + \mbox{第三個根} = 0.\),亦即 \(x^3+px+1=0\) 的第三個根為實根 \(=-2a.\)

而 \(x^3+px+1=0\) 的 \(x\) 以 \(-x\) 帶入之後,就是 \(x^3+px-1=0\).

所以 \(x^3+px-1=0\) 的三個根為 \(-a-bi,\,-a+bi,\, 2a.\)

故,所求為 \(2a.\)

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