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拋物線的題目,拋物線的兩切線夾定角,求切線交點軌跡.

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拋物線的題目,拋物線的兩切線夾定角,求切線交點軌跡.

拋物線 \(y=x^2\) 外一點 \(P\) 作兩條拋物線的切線,令兩切線銳夾角為 \(\alpha\),且 \(\tan \alpha=4\),求 \(P\) 點的軌跡方程式.

解答:

設 \(P(x_0,y_0)\) 且令過 \(P\) 且與拋物線相切的兩條切線斜率分別為 \(m_1, m_2\).



對於拋物線 \(y=x^2\) ,其斜率為 \(m\) 的切線方程式為 \(y=mx - \frac{1}{4}m^2\).



所以,通過 \(P\) 的切線方程式為  \(y_0=mx_0 - \frac{1}{4}m^2\),其中 \(m\) 的兩根為 \(m_1\) 與 \(m_2\).

化簡得 \( m^2 - 4 mx_0+4y_0=0.\)



由根與係數關係式,可以得到

\[m_1+m_2 = 4x_0 \mbox{   且    } m_1m_2 = 4y_0\]

利用 \(\left(m_1-m_2\right)^2 = \left(m_1+m_2\right)^2 - 4 m_1m_2\),可得 \(\left|m_1-m_2\right| = 4\sqrt{x_0^2 - y_0}\).

且由

\[\tan\alpha = \left| \frac{m_1-m_2}{1+m_1m_2}\right|\]
\[\Rightarrow 4 = \frac{4\sqrt{x_0^2 - y_0}}{1+4y_0}\]

化簡,可得 \(x_0^2 - 16 y_0^2 - 9 y_0 -1=0.\)

因此,可得 \(P(x,y)\) 的軌跡方程式為 \(x^2 - 16 y^2 - 9 y -1=0.\)





註:相同的方法可以用來證明

  1. 設橢圓方程式為 \(\displaystyle \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} =1\),則

   此橢圓任兩條互相垂直的切線之交點的軌跡方程式為 \(x^2 + y^2 = a^2 + b^2\).

   可以參考楊澤璿老師【閱讀橢圓】網站上的動態展示:

   http://apollonius.math.nthu.edu.tw/d1/ne01/tjy/edu-ellipse/square%28out-ellipse%29-ex.htm


  2. 設雙曲線方程式為 \(\displaystyle \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} =1\),則

   此雙曲線任兩條互相垂直的切線之交點的軌跡方程式為 \(x^2 + y^2 = a^2 - b^2\).


  3. 設拋物線方程式為 \(\displaystyle x^2=4cy\),則

   此拋物線任兩條互相垂直的切線之交點的軌跡為準線,即軌跡方程式為 \(y=-c\).

   可以參考王清德先生所做的動態展示:

   http://poncelet.math.nthu.edu.tw/disk3/summer01/work/129/new_page_32.htm

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瑋岳老師
你好,請教一個疑問
拋物線兩切線所夾的角的正切為一定值時
其軌跡方程為一雙曲線
不知是單邊曲線還是兩條曲線
在幾何上軌跡似乎只是單邊而已
實在想不出另一條曲線的軌跡
謝謝

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雖然兩切線的交點似乎從右上到左下,但快到y軸時會經過左上右下
所以雙曲線都會經過

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拋物線切線.gif (147.21 KB)

2009-4-16 20:35

拋物線切線.gif

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謝謝bugmens老師

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補充相關問題
1.橢圓方程式為\( \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 \),則此橢圓任兩條互相垂直的切線之交點的軌跡方程式為\( x^{2}+y^{2}=a^{2}+b^{2} \)。

試求與橢圓\( \frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}=1 \)相切且互相垂直的兩切線的交點軌跡方程式為何?
(97大安高工)http://forum.nta.org.tw/examservice/showthread.php?t=47771
試求與橢圓\( \frac{x^2}{20}+\frac{y^2}{5}=1 \)相切且互相垂直的兩切線的交點軌跡方程式為何?
(97彰化藝術高中)http://forum.nta.org.tw/examservice/showthread.php?t=47041
平面上,直線L:\( 2x+y=5 \),點\( P\in L \),橢圓Γ:\( 4x^2+y^2=4 \);自P向Γ做兩切線,若兩切線互相垂直,則點P坐標為?(A)\( (-1,7) \) (B)\( (1,3) \) (C)\( (2,1) \) (D)\( (3,-1) \)
(97台南縣國中聯招)http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?p=1210
證明
http://forum.nta.org.tw/examservice/showthread.php?p=202712


2.設雙曲線方程式為\( \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1 \),則雙曲線任兩條互相垂直的切線之交點的軌跡方程式為\( x^{2}+y^{2}=a^{2}-b^{2} \)。

A(0,t)不屬於雙曲線\( \frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{5}=1 \),若A點對雙曲線做兩切線,且兩切線互相垂直,試求t值與兩切線方程式?(98曉明女中)


\( a>b \),試證:雙曲線\( b^2 x^2-a^2 y^2=a^2 b^2 \)互相垂直二切線的交點必在圓\( x^2+y^2=a^2-b^2 \)上。
(98新港藝術高中)


給定雙曲線Γ:\( \displaystyle \frac{x^2}{36}-\frac{y^2}{20}=1 \)與直線L:\( 3x+4y=k \),若在直線L上存在唯一的點P,使過P點對雙曲線可作二條互相垂直的切線,則P點座標=  
(99中一中,https://math.pro/db/thread-929-1-1.html)


3.設拋物線方程式為 \( x^2=4cy \),則此拋物線任兩條互相垂直的切線之交點的軌跡為準線,即軌跡方程式為 y=−c。

切圓C:\( x^2+y^2=20 \)於點A(2,4)及點B(-4,2)的拋物線之頂點坐標為?(96台南女中)
https://math.pro/db/thread-573-1-1.html
http://forum.nta.org.tw/examservice/showthread.php?t=22884

拋物線\( y=x^2 \)上的兩點P、Q,在P、Q兩點的切線設為\( L_1、L_2 \),如果\( L_1、L_2 \)互相垂直,試證明:\( L_1 \)與\( L_2 \)的交點落在準線上。
99高中數學能力競賽 台南區筆試二試題
https://math.pro/db/thread-1051-1-8.html

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2010-3-28 08:41

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給定坐標平面上的一錐線C:\( 5x^2-6xy+5y^2-16=0 \)。
(1)若直線L:\( x=3+\alpha t \),\( y=1+\beta t \)(\( t \in R \))與錐線C相切,試求斜率\( \displaystyle \frac{\beta}{\alpha} \)的所有可能值。(10分)
(2)若過點\( T(u,v) \)有一對垂直線與錐線C都相切,試證:\( u^2+v^2-10=0 \)。(10分)
(95台灣師大在職專班)
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=709&page=2#pid1834

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2010-1-27 23:36, 下載次數: 4222

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