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數論的題目,高斯符號的題目

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數論的題目,高斯符號的題目

設 \([x]\) 表示不大於 \(x\) 的最大整數值。

對任意正整數 \(n\),定義 \(\displaystyle S_n = \sum_{k=1}^{n}\left[\frac{n}{k}\right]\),求 \(\displaystyle S_{2002} - S_{2001}.\)

解答:

因為 \(2002 = 2\cdot 7\cdot 11\cdot 13\),所以 \(2002\) 的正因數有 \(\left(1+1\right)\left(1+1\right)\left(1+1\right)\left(1+1\right)=16\) 個。



若 \(k\) 為 \(2002\) 的正因數,則 \(\displaystyle \frac{2002}{k}\) 是整數 \(\Rightarrow \displaystyle\left[\frac{2001}{k}\right]=\left[\frac{2002}{k}-\frac{1}{k}\right]=\left[\frac{2002}{k}\right]-1\),

  \(\displaystyle\Rightarrow \left[\frac{2002}{k}\right]\) 比 \(\displaystyle\left[\frac{2001}{k}\right]\) 恰多 \(1\)。



若 \(1<k<2002\) 且 \(k\) 不為 \(2002\) 的正因數,則

  存在整數 \(q,r\) 使得 \(2002=qk+r\),其中 \(0<r<k\,\Rightarrow\, 0 \leq r-1<k-1\),

  \(\Rightarrow 2001 = qk + (r-1)\)

  \(\Rightarrow \displaystyle\left[\frac{2002}{k}\right]=q=\left[\frac{2001}{k}\right]\),

  \(\displaystyle\Rightarrow \left[\frac{2002}{k}\right]\) 與 \(\displaystyle\left[\frac{2001}{k}\right]\) 相等。



故,\(\displaystyle S_{2002} - S_{2001}=16.\)

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補充出處
高斯符號\( [x] \)表示小於等於x的最大整數,令\( S_{n}=[\frac{n}{1}]+[\frac{n}{2}]+...+[\frac{n}{n}] \)
(1)求\( S_{2002}-S_{2001}= \)
(2)試證\( S_{N}≧2N-1 \)
(91北一女數學科競試)
 
設\( [x] \)為表示小於或等於x的最大整數,令\( b_{n}=[\frac{n}{1}]+[\frac{n}{2}]+...+[\frac{n}{n}]  \)
則\( b_{2008}-b_{2007}= \)
(97中和高中,http://forum.nta.org.tw/examservice/showthread.php?t=47364#4)

[ 本帖最後由 bugmens 於 2009-4-15 09:22 PM 編輯 ]

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