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算幾不等式的題目,1≦x≦y≦z≦t≦100,求 x/y+z/t 的最小值.

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算幾不等式的題目,1≦x≦y≦z≦t≦100,求 x/y+z/t 的最小值.

已知 \(1\le x \le y \le z \le t \le 100\), 求 \(\frac{x}{y}+\frac{z}{t}\) 的最小值.

解答:

顯然
\[ \frac{x}{y}+\frac{z}{t} \ge \frac{1}{y}+\frac{z}{100}\ge 2 \sqrt{\frac{1}{y}\cdot\frac{z}{100}},\]
由 \( 1\le y \le z\) ,同除以 \(y\) 可得 \(1 \le \frac{z}{y}\).

所以,
\[ \frac{x}{y}+\frac{z}{t} \ge \frac{1}{y}+\frac{z}{100}\ge 2 \sqrt{\frac{1}{y}\cdot\frac{z}{100}}\]
\[=2 \sqrt{\frac{z}{100y}} \ge 2 \sqrt{\frac{1}{100}} = \frac{1}{5}\]

且當等號成立時, \(x=1, t=100\) 且 \(\frac{1}{y} = \frac{z}{100} = \frac{1}{10} \Rightarrow y=z=10\),滿足 \(1\le x \le y \le z \le t \le 100\).

故,所求 \(\frac{x}{y}+\frac{z}{t}\) 的最小值為 \(\frac{1}{5}\).

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