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一題不等式

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一題不等式

若 a,b,c為正數,試證:

                      sqrt(ab(a+b))+sqrt(bc(b+c))+sqrt(ac(a+c)) >= sqrt((a+b)(b+c)(c+a))

數學符號不知道要怎麼呈現耶....><

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引用:
原帖由 pgcci7339 於 2009-3-19 03:01 PM 發表
若 a,b,c為正數,試證:

                      sqrt(ab(a+b))+sqrt(bc(b+c))+sqrt(ac(a+c)) >= sqrt((a+b)(b+c)(c+a))

數學符號不知道要怎麼呈現耶....><
如下,就做不出來了,不知道有沒有人可以接下去。 ^__^

令 \(x=a+b,\, y=b+c,\, z=c+a,\, s=\frac{x+y+z}{2}\),且以 \(x,y,z\) 為三邊的三角形為 \(\triangle ABC\),則

\[a=\frac{x-y+z}{2}=s-y,\, b=\frac{x+y-z}{2}=s-z,\, c=\frac{-x+y+z}{2}=s-x\]

題目:
\[\sqrt{ab\left( {a + b} \right)}  + \sqrt {bc\left( {b + c} \right)}  + \sqrt{ca\left( {c + a} \right)}  > \sqrt {\left( {a + b} \right)\left( {b+ c} \right)\left( {c + a} \right)} \]
\[ \Leftrightarrow \sqrt{\left( {s - y} \right)\left( {s - z} \right)x}  + \sqrt {\left( {s -z} \right)\left( {s - x} \right)y}  + \sqrt {\left( {s - x}\right)\left( {s - y} \right)z}  > \sqrt {xyz} \]
\[\Leftrightarrow \sqrt {\frac{{\left( {s - y} \right)\left( {s - z}\right)}}{{yz}}}  + \sqrt {\frac{{\left( {s - z} \right)\left( {s - x}\right)}}{{zx}}}  + \sqrt {\frac{{\left( {s - x} \right)\left( {s - y}\right)}}{{xy}}}  > 1\]
\[ \Leftrightarrow \sin \frac{A}{2} + \sin \frac{B}{2} + \sin \frac{C}{2} > 1.\]

所以等同於要證明 \(\triangle ABC\) 的
\[\sin \frac{A}{2} + \sin \frac{B}{2} + \sin \frac{C}{2} > 1.\]

(接下來就沒想到了怎麼證了,晚點有空繼續想,呵呵。)

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補上出處,藍藍天上一朵雲2005題目收集
http://forum.nta.org.tw/oldphpbb2/search.php
版面選"高中職教甄考古題讀書交流區",搜尋關鍵字用"正數"可以找到thepiano的妙解
 
你現在看的那份題目都出自http://forum.nta.org.tw/oldphpbb2/viewforum.php?f=50
發問前先找看看,大家也不用在前人已經解過的題目上浪費時間

[ 本帖最後由 bugmens 於 2009-3-21 06:36 AM 編輯 ]

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(繼續補上,續接之前回覆~)

因為 \(\sin x\) 函數圖形在 \(0<x<\frac{\pi}{2}\) 時,開口凹向下\({}^\mbox{註1}\),


由圖形可以知道,當 \(0<x<\frac{\pi}{2}\) 時,恆有
\[\sin(x)>\frac{2}{\pi}\cdot x.\]

故,
\[\sin \left( {\frac{A}{2}} \right) + \sin \left( {\frac{B}{2}} \right) + \sin \left( {\frac{C}{2}} \right) > \frac{2}{\pi } \cdot \frac{A}{2} + \frac{2}{\pi } \cdot \frac{B}{2} + \frac{2}{\pi } \cdot \frac{B}{2} = \frac{{A + B + C}}{\pi } = 1.\]





推廣:

如果再搭配 bugmens 所提醒的 \(\frac{3}{2}\ge \sin \left( {\frac{A}{2}} \right) + \sin \left( {\frac{B}{2}} \right) + \sin \left( {\frac{C}{2}} \right)\)

(一般證法可見 https://math.pro/db/thread-229-1-4.html ,取其中第三個不等式的 \(a=\frac{A}{2}, b=\frac{B}{2}, c=\frac{C}{2}\)  \({}^\mbox{註2}\))



可以得到
\[\frac{3}{2}\ge \sin \left( {\frac{A}{2}} \right) + \sin \left( {\frac{B}{2}} \right) + \sin \left( {\frac{C}{2}} \right) > 1\]




亦即,此題可以進一步證明得到

\[\frac{3}{2}\sqrt {\left( {a + b} \right)\left( {b+ c} \right)\left( {c + a} \right)}\ge \sqrt{ab\left( {a + b} \right)}  + \sqrt {bc\left( {b + c} \right)}  + \sqrt{ca\left( {c + a} \right)}  > \sqrt {\left( {a + b} \right)\left( {b+ c} \right)\left( {c + a} \right)} \]



註1: 可由 \(\left(\sin{x}\right)^{''}=-\sin{x}<0,\,\forall 0<x<\frac{\pi}{2}\),

   得知當\(\sin x\) 函數圖形在 \(0<x<\frac{\pi}{2}\) 時,開口凹向下.

註2:
\[\frac{\sin \left( {\frac{A}{2}} \right) + \sin \left( {\frac{B}{2}} \right) + \sin \left( {\frac{C}{2}}\right)}{3} \le \sin\left(\frac{\frac{A}{2}+\frac{B}{2}+\frac{C}{2}}{3}\right) =  \sin\left(\frac{A+B+C}{6}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{6}\right)=\frac{1}{2}\]

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回復 3# bugmens 的帖子

不好意思,我在發問前有去您說的這些地方找過,也許是我打的關鍵字不對。
才一直找不到,所以我才來發問...造成你們的困擾很不好意思orz

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請教一題不等式

a b c均為正數   
且a+b+c=1
証明(2+1/a)(2+1/b)(2+1/c)最小值是125

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\( \displaystyle (2+\frac{1}{a})(2+\frac{1}{b})(2+\frac{1}{c}) \)

\( \displaystyle =(2+\frac{a+b+c}{a})(2+\frac{a+b+c}{b})(2+\frac{a+b+c}{c}) \)

\( \displaystyle =(3+\frac{b+c}{a})(3+\frac{c+a}{b})(3+\frac{a+b}{c}) \)

\( \displaystyle =3(\frac{a^2}{bc}+\frac{b^2}{ca}+\frac{c^2}{ab})+13(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}+\frac{b}{c}+\frac{c}{b}+\frac{c}{a}+\frac{a}{c})+38 \)

\( \displaystyle \ge 3 \cdot 3 \root 3 \of{\frac{a^2}{bc}\cdot \frac{b^2}{ca}\cdot \frac{c^2}{ab}}+13(2 \sqrt{\frac{a}{b} \cdot \frac{b}{a}}+2 \sqrt{\frac{b}{c} \cdot \frac{c}{b}}+2 \sqrt{\frac{c}{a} \cdot \frac{a}{c}})+38 \)

\( =9+78+38=125 \)

當\( \displaystyle a=b=c=\frac{1}{3} \)時等號成立

[ 本帖最後由 bugmens 於 2010-8-28 06:03 AM 編輯 ]

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