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斜雙曲線給定義式,求漸進線方程式.

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斜雙曲線給定義式,求漸進線方程式.

題目:

雙曲線  \(\displaystyle \left| \sqrt{\left(x-3\right)^2+\left(y-4\right)^2 } - \sqrt{ \left(x+3\right)^2+\left(y+4\right)^2 } \right| = 8\),

求漸進線方程式。

解答:

由已知條件可以看出兩焦點 \((3,4),(-3,-4)\)跟中心點 \((0,0)\),

且 \(\displaystyle 2a =8\Rightarrow a=4, c=\sqrt{3^2+4^2}=5, b=\sqrt{c^2-a^2}=3\)

設漸進線斜率為 \(m\),漸進線與貫軸夾角為 \(\theta\),則

\(\displaystyle \tan\theta  = \pm \frac{ m - \frac{3}{4} }{ 1+ m\times \frac{3}{4} }\)

且 \(\tan\theta = \frac{3}{4}.\)

可解得 \(m=0\) 或 \(\displaystyle m=\frac{24}{7}.\)

且由漸進線通過原點 \((0,0)\),可得兩漸進線方程式為 \(y=0\) 與 \(\displaystyle y=\frac{24}{7}x.\)

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