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數論的題目,求 [10^93 /(10^31+3)] 的末兩位數字.

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數論的題目,求 [10^93 /(10^31+3)] 的末兩位數字.

設 \([x]\) 表示不超過 \(x\) 的最大整數值,求整數 \(\displaystyle \left[\frac{10^{93}}{10^{31}+3}\right]\) 的末尾兩位數字。(先寫十位數字,後寫個位數字)

解答:

令 \(\displaystyle a=10^{31}+3\),則

\[10^{93} = (10^{31})^3 = \left(a-3\right)^3 = a^3 -3\cdot a^2 \cdot 3 + 3 \cdot a \cdot 3^2 - 3^3\]
\[=a^3 - 9 a^2 +27 a -27\]

因此,

\[\left[\frac{10^{93}}{10^{31}+3}\right] = \left[\frac{a^3 - 9 a^2 +27 a -27}{a}\right]\]
\[=\left[a^2 - 9 a +26 + \frac{a-27}{a}\right]=a^2 - 9 a +26\]

(其中 \(\displaystyle 0<\frac{a-27}{a}<1\),且 \(a^2 - 9 a +26\) 為整數。)

且由

\[a\equiv 3 \pmod{100}  ⇒  a^2-9a+26 \equiv 9 -27 + 26 \equiv 8 \pmod{100}\]

故,\(\displaystyle \left[\frac{10^{93}}{10^{31}+3}\right]\) 的末尾兩位數字為 \(08\).


出處:高雄中學校內數學競賽第一階段考題 2007 年卷 http://web.kshs.kh.edu.tw/math/exam/kshs/96-kshs-01.doc

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這題我之前有整理過,請一併準備
整数 \( \displaystyle \left[\frac{10^{93}}{10^{31}+3}\right]\) 的末两位数是?(1993全国高中数学联合竞赛试卷)
http://forum.nta.org.tw/examservice/showthread.php?t=52834
的"大陸全國高中數學聯合競賽.rar"
 
試求 \( \displaystyle \left[\frac{10^{93}}{10^{31}+3}\right]\) 的末尾兩位數字和為。(其中:表示不超過的最大整數)
(94台中縣高中聯招)
高斯函數 \( \displaystyle \left[\frac{10^{93}}{10^{31}+3}\right]\) 的末尾兩位數字和為?
http://forum.nta.org.tw/oldphpbb2/viewtopic.php?t=20850
 
\( 10^{2000} \) 被 \( 10^{100}+3 \) 除,商的個位數為\( a \),餘數的個位數為 \( b \),求數對\( (a,b) \)?
(95中興高職)http://forum.nta.org.tw/examservice/showthread.php?t=13559
 
試證:\( \displaystyle \left[\frac{10^{ 20000 }}{10^{100}+3}\right]\) 之個位數字為3,(其中\(\left[x \right]\)為 \( x \) 之高斯整數)。
(95高雄市聯招)
http://forum.nta.org.tw/examservice/showthread.php?t=2633
http://www.mathlinks.ro/Forum/viewtopic.php?t=234350
https://math.pro/db/thread-2125-1-1.html
 
試求\( \displaystyle \left[\frac{10^{2001}}{10^{667}+2002}\right]\)的末四位數,其中\(\left[x \right]\)表示小於或等於 \( x \) 的最大整數。
(2002TRML團體賽,96中一中)
103彰化高中,https://math.pro/db/thread-1890-1-1.html

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