投影後的曲線方程式

台灣師大96筆試二
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空間中位於點(0,2,2)的光源,將xz平面上的圓\( x^2+(z-1)^2=1 \) , y=0
照射在xy平面上,則這個影像的曲線方程式為
[解答]
\( x^2+(z-1)^2=1 \) , y=0的參數式\( (cos θ , 0 , 1+sin θ) \)

\( (cos θ, 0 , 1+sin θ) \)和(0 , 2 , 2)的直線參數式\(\displaystyle \frac{x}{cos θ}=\frac{y-2}{-2}=\frac{z-2}{sin θ -1}\)

該直線和z=0的交點\(\displaystyle \frac{x}{cos θ}=\frac{y-2}{-2}=\frac{0-2}{sin θ-1}\)

\(\displaystyle sin θ=\frac{y+2}{y-2}\) , \(\displaystyle cos θ=\frac{-2x}{y-2}\)

利用\( sin^2 θ+cos^2 θ=1 \)，得到\(x^2+2y=0\) , z=0

題目的方程式打錯了
難怪看半天看不懂^^"
應該是
x^2+(z-1)^2 =1，y=0
才是

感謝littleyang指正

空間中\(A\)之座標為\((0,2,3)\)而\(B\)是圓\(y=0\)及\(x^2+(z-1)^2=1\)上的動點，若直線\(AB\)與\(z=0\)交於\(P\)點，則在\(xy\)平面上\(P\)點的軌跡方程式為何?

ans: \(\displaystyle \frac{x^2}{3}+\frac{(y+2)^2}{4}=1\)
請老師幫忙解答,謝謝

\(A(0,2,3)\)，\(B\)點參數式\(B(sin\theta,0,1+cos\theta)\)，\(P\)點坐標\(B(x,y,0)\)
因三點共線，\(\displaystyle \frac{x}{sin\theta}=\frac{y-2}{-2}=\frac{-3}{cos\theta-2}\)，
整理得\(\displaystyle sin\theta=\frac{-2x}{y-2}\)、\(\displaystyle cos\theta=\frac{2y+2}{y-2}\)
代入\(sin^2\theta+cos^2\theta=1\)，\(\displaystyle \left(\frac{-2x}{y-2}\right)^2+\left(\frac{2y+2}{y-2}\right)^2=1\)
\(\displaystyle \Rightarrow (4x^2)+(4y^2+8y+4)=y^2-4y+4\Rightarrow \frac{x^2}{3}+\frac{(y+2)^2}{4}=1\)
不過這個方法有點繁瑣，不知有沒有更簡潔的做法?
不好意思，答案應該要加個z=0。

老師真的很感謝你快速幫我解答