設 R 為 ΔABC 外接圓的半徑，則由正弦定理
a ／ sin A ＝ b ／ sin B ＝ c ／ sin C ＝ 2R
可知 a ＝ 2R sin A， b ＝ 2R sin B，
將此帶入已知條件 a cos A ＝ b cos B，可得
2 R sin A cos A ＝ 2 R sin B cos B
⇒ 2 sin A cos A ＝ 2 sin B cos B
⇒ sin(2A) ＝ sin(2B)
∵ ∠A， ∠B 皆為三角形的內角
∴ 0° ＜ 2∠A ＜ 360°， 0° ＜ 2∠B ＜ 360°
⇒ 2∠A ＝ 2∠B 或 2∠A ＝ 180° － 2∠B
⇒ ∠A ＝ ∠B 或 ∠A＋∠B ＝ 90°
⇒ ΔABC 為等腰三角形，或直角三角形。
