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例題:H 的典型考題之一

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例題:H 的典型考題之一

原討論串在 http://www.student.tw/db/showthread.php?t=71271
這裡擷取其中我自己寫的一小段當紀錄


題目:若 1 ≦ X ≦ Y ≦ Z ≦ 12,問有序數組 (X,Y,Z) 共有幾組整數解?



我提供一個解法供參考,

∵ 1≦ X ≦ Y ≦ Z ≦ 12

∴ 考慮 X-1, Y-X, Z-Y, 12-Z 分別為 四個介於 0~11 之間的整數,而且全部加起來 = 11 。

(也就是考慮 1到X, X到Y, Y到Z, Z到12 之間到底分別要差幾個整數。)


想像有四個箱子分別貼上 X-1, Y-X, Z-Y, 12-Z 的標籤,然後把 11 個相同球丟進去,

共有 H(4, 11) = (3+11)!/(3!×11!) = 364 種情形。

所以答案就是 364 。






當然,如果有人看不太懂箱子投球的方法的話,也可令 X' = X-1, Y' = Y-X, Z'= Z-Y, U' = 12-Z

則 X' + Y' + Z' + U' = (X-1) + (Y-X) + (Z-Y) + (12-Z) = 11

所以 X' + Y' + Z' + U' = 11 非負整數解 (也就是限定 X', Y', Z', U' 為介於 0~11 的整數)

解的組數有 H(4, 11) = (3+11)!/(3!×11!) = 364 種。







再來個另解,

分別放 12 個箱子,標上 1~12 號,然後拿 3 顆相同球分配給箱子,

然後看球落在哪些箱子,就可以知道選到哪些號碼了,因為都是相同球,

所以把被選取到的箱子號碼由小排到大(如果一箱有多顆球,則該箱之號碼重複選取),

就是 X,Y,Z 所取到的數字了,所以共有 H(12,3) = C(12+3-1, 3) = C(14,3) = 364 種。

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