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如何證明:質數都是 6 的倍數加減 1

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如何證明:質數都是 6 的倍數加減 1

但逆命題不存在 91=6*15+1 ,91不為質數
----------------------------------
1 = 6 * 0 + 1
2
3
5 = 6 * 1 - 1
7 = 6 * 1 + 1
11 = 6 * 2 - 1
13 = 6 * 2 + 1
17 = 6 * 3 - 1
19 = 6 * 3 + 1
23 = 6 * 4 - 1
29 = 6 * 5 - 1
31 = 6 * 5 + 1
37 = 6 * 6 + 1
41 = 6 * 7 - 1
43 = 6 * 7 + 1
47 = 6 * 8 - 1
53 = 6 * 9 - 1
59 = 6 * 10 - 1
61 = 6 * 10 + 1
67 = 6 * 11 + 1
71 = 6 * 12 - 1
73 = 6 * 12 + 1
79 = 6 * 13 + 1
83 = 6 * 14 - 1
89 = 6 * 15 - 1
97 = 6 * 16 + 1

[ 本帖最後由 ksjeng 於 2008-10-19 10:45 PM 編輯 ]

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正整數被六除的餘數只有 0,1,2,3,4,5 六種中的一種,

也就是任何正整數只能寫成 6k, 6k+1, 6k+2, 6k+3, 6k+4, 6k+5 中的一個(其中 k 為非負整數),

因為 6k = 2×3×k, 6k+2 = 2×(3k+1), 6k+3 = 3×(2k+1), 6k+4 = 2×(3k+2)

上列四種情形顯而易見都是 2 或 3 的倍數,

所以比 3 大的質數如果被 6 除之後,必不可能同餘到 0,2,3,4(不然就會有 2 或 3 的因數,就是合數,而不是質數) ,

也就是說,比 3 大的質數被 6 除之後,只可能同餘 1 或 5 (note: 5≡-1 mod 6),

所以比 3 大的質數只有可能寫成 6k+1 或 6k+5 .(註:6k+5 = 6(k+1)-1,就是 6 的倍數再減 1.)

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