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橢圓動點

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橢圓動點

若P,Q為 (x^2/a^2)+(y^2/b^2)=1上的兩個動點,O為原點且線段OP垂直線段OQ,試證明 (1/線段OP)^2+(1/線段OQ)^2為定值。

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若 OP 與 OQ 的斜率都存在,

令 OP 直線的斜率為 m ,則 OP 方程式為 y=mx

帶入橢圓方程式,分別求出 x^2 與 y^2 (以 a, b, m 表示)

進而可以將 (OP線段)^2 以 a, b, m 表示。



因為線段OP垂直線段OQ,所以可以令 OQ 直線方程式為 y=(-1/m)x,

依然帶入橢圓方程式,可以將 Q 點的 x, y 坐標以 a, b, m 表示,

從而求出 (OQ線段)^2。



再將上述兩式,倒數之後相加,可以求得 (1/線段OP)^2+(1/線段OQ)^2 = (1/a)^2+(1/b)^2





若 OP 或 OQ 的斜率不存在,亦即 P, Q 分別在 x, y 軸,或 y, x 軸上,

依然可得 P, Q 兩點為長、短軸上的兩頂點,

故 (1/線段OP)^2+(1/線段OQ)^2 = (1/a)^2+(1/b)^2 亦成立。






Note: 若將要求證的式子通分之後,可以發現,題意亦可改成,求證 "橢圓中心點到 PQ 線段的距離為定值",
或是說 "橢圓中心點到 PQ 線段的投影點會在一固定圓上"。

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