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複數絕對值

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複數絕對值

z/(z-1)為純虛數,求|z-i|之最大值?

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因為 \(\frac{z}{z-1}\) 為純虛數,

所以
\[ \frac{z}{{z - 1}} =  - \overline {\left( {\frac{z}{{z - 1}}} \right)} \]
\[\frac{z}{{z - 1}} =  - \frac{{\overline z }}{{\overline z  - 1}}\]


交叉相乘,得

\[z\left( {\overline z  - 1} \right) =  - \overline z \left( {z - 1} \right)\]
\[z^2  - z =  - z^2  + \overline z \]

\[z + \overline z =2z^2 \]


令 \(z=x+yi\),則

\[2x = 2\left( {x^2  + y^2 } \right)\]
\[\left( {x - \frac{1}{2}} \right)^2  + y^2  = \frac{1}{4}\]

所以 z 在複數平面的圖形為一圓(圓心為 \(\frac{1}{2} + 0i\),且半徑為 \(\frac{1}{2}\)),

而題目要求的就是此圓上的點到  \(0+ i\) 的最長距離,

也就是 \(\frac{{1 + \sqrt 5 }}{2}\)。

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