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arctan恆等式證明

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arctan恆等式證明

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引用:
原帖由 chu1976 於 2008-5-1 10:52 PM 發表
可以仿照這題 https://math.pro/db/thread-27-1-3.html  的方法,


利用其中的 arctan(x) - arctan(y) = arctan{ (x-y)/(1+xy) }

取 x=k/(k+1), y=(k-1)/k

則, arctan{ k/(k+1) } - arctan{ (k-1)/k } = arctan{ 1/(2*k^2)}


所以,左式當中的每一項都可以分裂成兩項相減,

再兩兩對消之後,最終可得右式。

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引用:
原帖由 weiye 於 2008-5-1 11:18 PM 發表


可以仿照這題 https://math.pro/db/thread-27-1-3.html  的方法,


利用其中的 arctan(x) - arctan(y) = arctan{ (x-y)/(1+xy) }

x=k/(k+1), y=(k-1)/k

則, arctan{ k/(k+1) } - arctan{ (k-1)/k } = arctan{ 1/(2*k^2)}


所以 ...
請問紅色部分是如何得來的呢?
是否有跡可循呢?

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觀察而得,而觀察的過程如下,

利用題目所給的式子,將 n 分別以 k 及 k-1 帶入,

再將所得的兩式相減,即可得

arctan{ 1/(2*k^2)}= arctan{ k/(k+1) } - arctan{ (k-1)/k } ...........(*)

因此,猜測(*)會成立,而證明過程如上文。 :-)





其實只要發現(*),就可以發現,

原命題得的證明改成用數學歸納法也可以。

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