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所圍面積

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所圍面積

y=(1/pi)x^2與y=(pi/4)sinx所圍區域面積為何?
這一題我的主要問題是圖形的交點如何求得?

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令 f(x)=x^2/π(平行y軸伸縮過後的頂點在原點的開口向上拋物線),

  g(x)=πsin(x)/4(平行y 軸伸縮過後的正弦函數)

若由 f(x)=g(x) → sin(x)=(2x/π)^2

觀察上式,可得 x = 0, π/2 為方程式的解,且

當 x>π/2 時,f(x)>π/4≧g(x),所以 x>π/2 時,f(x)=g(x) 沒有解;

當 x<-π/2 時,f(x)>π/4≧g(x),所以 x<-π/2 時,f(x)=g(x) 沒有解;

當 -π/2≦x<0 時,f(x)≧0>g(x),所以 -π/2≦x<0 時,f(x)=g(x) 沒有解;

當 0<x<π/2 時,先考慮

        當0≦x≦π/2 時,y=f(x) 開口凹向上,y=g(x)開口凹向下,且在 x=0, π/2 時為交點,

        所以 0<x<π/2 時,f(x)=g(x) 沒有解。

所以交點只有在 x = 0, π/2 的時候。

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