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反三角函數

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反三角函數

(1)解arc(cosx)>arc(sinx)
(2)求S={(x,y)|arc(cosx)>arc(siny)}之面積

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引用:
原帖由 chu1976 於 2008-4-21 08:58 PM 發表
(1)解arc(cosx)>arc(sinx)
令 θ1=arccos(x), θ2=arcsin(x),

⇒比較  x=cos(θ1) 與 x=sin(θ2) 的圖形,

題目要求 θ1>θ2 (對於相同的 x ),


如圖,即可得 -1 <x< (√2)/2

或是圖形對稱於 x=y 直線,應該更明顯

引用:
(2)求S={(x,y)|arc(cosx)>arc(siny)}之面積

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感謝版主(1)精闢的解答
但是(2)的圖形該怎麼畫出來呢?!

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α=arccos(x), cos(α)=x, 其中 α 介在 0 到 π 之間,且 -1≦x≦1

β=arcsin(y), sin(β)=y, 其中 β 介在 -π/2 到 π/2 之間,且 -1≦y≦1

若 (x,y) 為第二象限的點,則 arccos(x) 介在 π/2 到 π 之間,

             arcsin(y) 介在 0 到 π/2 之間,

 所以必然滿足 arccos(x) > arcsin(y) (邊界曲線長不佔面積,所以我沒有考慮等號的情況)


若 (x,y) 為第三象限的點,則 arccos(x) 介在 π/2 到 π 之間,

             arcsin(y) 介在 -π/2 到 0 之間,

 所以必然滿足 arccos(x) > arcsin(y)


若 (x,y) 為第四象限的點,則 arccos(x) 介在 0 到 π/2 之間,

             arcsin(y) 介在 -π/2 到 0 之間,

 所以必然滿足 arccos(x) > arcsin(y) (邊界曲線長不佔面積,所以我沒有考慮等號的情況)


若 (x,y) 為第一象限內的點,要求 (x,y) 點座標滿足 α>β ,則

 因為 cos(α)=x, sin(β)=y,利用 √{1-x^2}=sin(α)

 且利用第一象限的 sin 函數是漸增函數,

 所以 α>β ⇒ sin(α)>sin(β) ⇒ √{1-x^2}>y ⇒ 1>x^2+y^2

 在第一象限滿足的座標只有在單位圓內部的點(邊界曲線長不佔面積,所以我沒有考慮等號的情況)。


因此圖形是三個正方形加上一個1/4圓,

面積是= 1+1+1+π/4 = 3+π/4。

(答案有誤的話要跟我說喔~ :-p )

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版主您的答案正確但是您有一個字錯!是指面積而不是體積。

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嗯,錯字已修改。  :-)

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