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數列與級數題目,複利計算求本利和題目

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數列與級數題目,複利計算求本利和題目

請教一條數列問題
以下是陳先生的儲蓄計劃:
每年的首天把10000元存入戶口,年利率是10% ,按年計算複利息一次。
求陳先生N年後的戶口結餘 以N表示

如果
10000{[1-1/(1.1)]^n}
------------------------
1-1/(1.1)

這方法錯了什麼-v-請指導一下
我求得公比是1/(1.1)
首項是10000~"~

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10000 元經過一期之後,

本金 = 10000, 利息= 10000 × 10%

經過一期之後,本利和 = 本金+利息 = 10000 + 10000 × 10% = 10000(1+10%)

也就是把本金變大為原來的 (1+10%) 倍。


所以,經過 n 期複利之後,變成為 10000(1+10%)^n




如果每年第一天都存入 10000 元,

則 n 年累計的金額有 10000(1+10%)^n + 10000(1+10%)^{n-1} + .... + 10000(1+10%)

(改從最後面倒寫回來) = 10000(1+10%) + 10000(1+10%)^2 + .... + 10000(1+10%)^n

           = 首項×{1-公比^項數} / (1-公比)

           = 10000(1+10%)×{1-(1+10%)^n} / (1-(1+10%))  .............(*)






或是如果你不想由最後面倒寫回來,也可以直接算


          10000(1+10%)^n + 10000(1+10%)^{n-1} + .... + 10000

          = 10000(1+10%)^n  × {1-[1/(1+10%)]^n} / (1-1/(1+10%))

            ^^^^^^^^^^^^^^----首項這裡跟你寫的不一樣

(把首項的(1+10%)^n乘到分子的大括弧內)
          = 10000{(1+10%)]^n-1} / (1-1/(1+10%))

(把分母通分)
          = 10000{(1+10%)]^n-1} / {((1+10%)-1)/(1+10%)}

          = 10000(1+10%){(1+10%)]^n-1} / {((1+10%)-1)}

(分子分母都乘以-1, a-b 就會變成 b-a)

          = 10000(1+10%)×{1-(1+10%)^n} / (1-(1+10%))

最後跟 (*) 是一樣的結果。

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