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艾森斯坦判別法 (Eisenstein's criterion)

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艾森斯坦判別法 (Eisenstein's criterion)

艾森斯坦判別法(Eisenstein's criterion)
中文: http://zh.wikipedia.org/w/index.php?...&variant=zh-tw
英文: http://en.wikipedia.org/wiki/Eisenstein%27s_criterion

這是在代數學裡面會學到的一個定理,用來判別有理係數多項式是不是在有理係數多項式的體裡面是 irreducible.(亦即,無法更進一步再分解成兩個有理係數多項式的乘積)

由於 wikipedia 裡面提供的初等證明還是可能要學過一點 代數學 才會看得懂。



http://web.ew.usna.edu/~wdj/book/node102.html
↑↑↑↑↑↑ 這裡提供一個沒有用到 代數學 的證明。


我把它翻成中文:


Theorem  2.12.3 (Eisenstein's criterion)      假設質數可以整除整係數多項式除了領導係數以外的其他所有係數,且常數項沒辦法被 整除,則此多項式無法分解成兩個整係數多項式的乘積。


   proof: 假設 滿足此定理的假設,也就是已知當 時,,且同時 。  

接下來要利用矛盾證法,也就是假設 f(x)可以分解成兩個整係數多項式的乘積,寫作  ,其中
,  皆為整係數多項式,為了方便書寫,假設只要,則令 ,且只要,則令 ,如此就可以利用比較乘開之後 x^t 的係數,而得  

     (2.2)


其中,當 t=0 的時候,可得,因為 且  ,所以 p 一定恰為 a0 或 b0 其中之一的因數,且不同時為 a0 與 b0 此兩數之因數,不失一般性,我們可以假設 且  

因為已知 b0 到 bk 裡面至少有一個係數可以被 p 整數整數,所以假設 是滿足不被 整除的裡面下標最小的一個(譯註:亦即 p 是 b0, b1, ... b_{t-1} 的因數,但 p 不是 bt 的因數,因為 f(x) 係數不完全被 p 整除,所以可以知道 t≦k,且因為m≧1,所以t<n),因為由上一段推得,所以可以知道

觀察滿足此條件 t 的 at ,觀察等式 (2.2) 的左邊,可以發現因為整除b0, b1, ... b_{t-1} ,且 p 不是 c0 也不是 bt 得因素,所以 at 不是 p的因數,可是由假設的已知,可以知道 p 可以整除除了 an 以外的所有係數(當然也包含) at ,由此產生矛盾,故滿足此定理的前提的 f(x)必無法分解成兩個整係數多項式的乘積。(得證!)



原討論串:http://www.student.tw/db/showthread.php?t=144087

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