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組合的題目,(5+x)^n 按x的升冪排列中第3項係數為9375,求n

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組合的題目,(5+x)^n 按x的升冪排列中第3項係數為9375,求n

設N為正整數。若(5+x)^n 按x的升冪序展式中第3項係數為9375,試求n的值


應該怎樣計?謝謝

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(5+x)^n 展開式,升冪排列,依照二項式定理,

第三項係數,應該是 C(n,2) * 5^(n-2) = {n(n-1)/2} * 5^(n-2)

將 9375 因數分解,可得 9375 = 3* 5^5 = (6 * 5^5 )/2

故 n=6

(因為 {n(n-1)/2} * 5^(n-2) 在 n≧1 時,是嚴格遞增函數,所以是唯一解。)

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引用:
原帖由 weiye 於 2007-12-5 10:43 PM 發表
(5+x)^n 展開式,升冪排列,依照二項式定理,

第三項係數,應該是 C(n,2) * 5^(n-2) = {n(n-1)/2} * 5^(n-2)

將 9375 因數分解,可得 9375 = 3* 5^5 = (6 * 5^5 )/2

故 n=6

(因為 {n(n-1)/2} * 5^(n-2) 在 n≧1 時,是嚴格遞 ...
恕我笨=_=
為甚麼 {n(n-1)/2} * 5^(n-2)=(6 * 5^5 )/2
    N就=6呢 ?
這一課很弱T_T

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沒蝦咪笨不笨啦,別想太多。



n = 6 的解,是觀察出來的結果,

利用 (n-1) 跟 n 是連續的兩個數觀察出來的,

所以 n=6 帶入 { n(n-1)/2 }* 5^(n-2) 檢驗看看,

可以發現就是 {6*5/2}*5^4 = {6*5^5}/2 = 3*5^5

所以存在有 n = 6 這個解。(解的存在性!)






然後再想看看有沒有可能會有其他的解,

觀察 n(n-1)/2 在 n ≧1,是嚴格遞增,

也就是說 n 越大,則 n(n-1)/2 只會更大,

n 越小(但是因為 n 為正整數,故 n ≧1 喔),n(n-1)/2 也只會變小,

同樣的 5^{n-2} 也是嚴格遞增函數,

所以利用 {n(n-1)/2} * 5^(n-2) 在 n≧1 時,是嚴格遞增函數的特性,

可以發現 n 如果比 6 大或是比 6 小,

則 {n(n-1)/2} * 5^(n-2) 就會比 9375 大,或比 9375 小,

所以 n=6 是唯一解。(解的唯一性。)

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