一、單選題
1.
設\(\{\;a_n \}\;\)為一數列，且\(a_n\ne 0\)，其中\(n=1,2,3,\ldots\)，如果\(a_1=97\)，且當所有正整數\(n>1\)時，\(\displaystyle a_n=\frac{n}{a_{n-1}}\)，則當前10項的乘積\(a_1a_2a_3\ldots a_{10}\)之值為下列何者？
(A)960 (B)1920 (C)3840 (D)7680
8.
設\(x,y\)為實數，如果\(tanx+tany=25,cotx+coty=30\)，則\(tan(x+y)\)之值為下列何者？
(A)60 (B)120 (C)150 (D)180
9.
試問\(41^{48}\)除以100的餘數為下列何者？
(A)11 (B)21 (C)41 (D)81
10.
設\(a,b,c,d\)為正整數，如果\(a^5=b^4,c^3=d^2\)，且\(c-a=19\)，則\(d-b\)之值為下列何者？
(A)243 (B)729 (C)757 (D)919
11.
已知函數\(\displaystyle f(x)=\frac{9x^2sin^2 x+4}{xsinx}\)，其中\(0<x<\pi\)，則函數\(f(x)\)在\(0<x<\pi\)之最小值為下列何者？
(A)6 (B)9 (C)12 (D)18
12.
已知一多項式\(f(x)=x^{2025}(x^2+ax+b)\)，其中\(a,b\)為實數，如果將\(f(x)\)除以\((x-2)^2\)，得到餘式為\(2^{2025}(x-2)\)，則\(b=\)？
(A)\(-3\) (B)\(-2\) (C)2 (D)3
15.
設一函數\(f\)之定義域為所有正整數，如果\(f(1)=101\)，且對所有正整數\(n>1\)，\(f(1)+f(2)+f(3)+\ldots+f(n)=n^2f(n)\)都成立，則\(f(100)\)之值為下列何者？
(A)\(\displaystyle \frac{1}{100}\) (B)\(\displaystyle \frac{1}{50}\) (C)\(\displaystyle \frac{100}{101}\) (D)1
20.
已知\(a_0,a_1,a_2,a_3,a_4\)的值正好都是\(-1,0,1\)中的數，則\(a_0+3a_1+3^2a_2+3^3a_3+3^4a_4\)的值是正整數共有多少個？
(A)121 (B)122 (C)123 (D)124
21.
如右圖，正方形\(ABCD\)中，其邊長為1，將每邊作\(n\)等分，其中\(n\)為正整數，且點\(E,F,G,H\)都是各邊上的等分點，使得\(\displaystyle \overline{BE}=\overline{CF}=\overline{DG}=\overline{AH}=\frac{1}{n}\)；分別作\(\overline{AF},\overline{CH},\overline{BG},\overline{DE}\)，此四線段分別交於\(P,Q,R,S\)四點。如果四邊形\(PQRS\)的面積為\(\displaystyle \frac{1}{421}\)，試問\(n\)值為下列何者？
(A)14 (B)15 (C)16 (D)17
24.
直角三角形\(ABC\)中，\(\angle C=90^{\circ}\)，且斜邊\(\overline{AB}=35\)。今在三邊\(\overline{AB}\)、\(\overline{AC}\)及\(\overline{BC}\)上分別取一點\(E,D,F\)，使得四邊形\(CDEF\)為一正方形，且其邊長為12，如右圖所示，則直角三角形\(ABC\)之二股長之和為下列何者？
(A)25 (B)28 (C)31 (D)49
29.
如右圖，將邊長為9的正三角形沿著水平線翻滾2次，求\(A\)點從開始到結束所經過的路線長？
(A)\(27\pi\) (B)\(18\pi\) (C)\(15\pi\) (D)\(12\pi\)
35.
把0、1、2、3四個數字組成數字不重複的四位數，例如：2341，請問這些四位數的總和是多少？
(A)38,664 (B)39,996 (C)33,330 (D)29,997
43.
已知投擲某枚硬幣，已知出現正面的機率為\(p\)，出現反面的機率為\((1-p)\)。現投擲此硬幣\(n\)次，在投擲的過程中，第一次正面出現時，可獲得1元，第二次正面出現時，可再獲得2元，第三次正面出現時，可再獲得3元，依此類推。請問下列敘述何者正確？
(A)總共得到\(\displaystyle \frac{1}{2}(n^2-n)\)元的機率為\(\displaystyle \frac{n}{2}(p^{n-1}-p^n)\)
(B)投擲硬幣第二次之後，累計獲得1元的機率為\(2(p-p^2)\)
(C)若\(n\)次投擲中出現正面\(r\)次，總共可拿到\(\displaystyle \frac{1}{2}(r^2-r)\)元
(D)若\(n\)次投擲後累計獲得3元，其機率為\(\displaystyle C_3^n p^3(1-p)^{n-3}\)
44.
已知\(P(a,b)\)為橢圓\(4(x+1)^2+(y-2)^2=16\)上的一點，請問\(3a+2b-2\)的最小值為何？
(A)11 (B)9 (C)\(-9\) (D)\(-11\)
48.
在平面直角坐標系中，考慮拋物線\(y=12-x^2\)與\(x\)軸所圍成的封閉區域。欲在此區域內畫一個矩形，使其一邊在\(x\)軸上，其餘兩頂點在拋物線上。請求出此矩形的最大可能面積為何？
(A)64 (B)\(16\sqrt{3}\) (C)32 (D)16
50.
在空間中，給定兩歪斜線\(L_1\)：\(\displaystyle \frac{x-7}{2}=\frac{y-2}{1}=\frac{z-10}{-2}\)與\(L_2\)：\(\displaystyle \frac{x-3}{1}=\frac{y-9}{-2}=\frac{z-2}{1}\)。若在直線\(L_1\)上取一點\(P\)，在直線\(L_2\)上取一點\(Q\)，使得線段長\(\overline{PQ}\)最短，試求\(\overline{PQ}\)距離為何？
(A)\(2\sqrt{7}\) (B)\(\displaystyle \frac{12\sqrt{2}}{5}\) (C)\(\sqrt{17}\) (D)3
