1.
設複數\(z\)滿足\(z^3\)為純虛數，且滿足\(|\;z^3+4-5i|\;=5\)，試求\(|\;z+i|\;\)的最小值。
2.
從一正立方體的稜邊中點中，任選兩點，設為\(A,B\)，試問可形成幾種不同的\(\vec{AB}\)？
在坐標空間中，一正立方體的八個頂點分別為\((0,0,0)\)、\((1,0,0)\)、\((1,1,0)\)、\((0,1,0)\)、\((0,0,1)\)、\((1,0,1)\)、\((1,1,1)\)與\((0,1,1)\)。若\(A\)、\(B\)分別為此正立方體兩相異稜邊的中點，則 \(\displaystyle \vec{AB}\) 共有幾種可能？
(100鳳新高中代理，連結有解答
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1197&page=1#pid4183)
12.
實數\(x\)、\(y\)滿足\(\cases{x+y=z-1\cr xy=z^2-7z+14}\)，\(x^2+y^2-4x-4y\)有最大值\(M\)、最小值\(m\)，試求數對\((M,m)=\)？
15.
\(P=\left[\matrix{0&1&1\cr 1&0&1\cr 1&1&0}\right]\)，\(I=\left[\matrix{1&0&0\cr 0&1&0\cr 0&0&1}\right]\)，設\(P^n=a_nP+b_nI\)，\(\forall n \in \mathbb{N}\)，求\(a_n\)之一般式。
(我的教甄準備之路 矩陣\(n\)次方，
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=3#pid14875)
二、計算證明題
1.\(\vec{a}\)、\(\vec{b}\)、\(\vec{c}\)為空間向量，其中\(\vec{a}\ne \vec{0}\)。
證明：若\(\vec{a}\cdot \vec{b}=\vec{a}\cdot \vec{c}\)且\(\vec{a}\times \vec{b}=\vec{a}\times \vec{c}\)，則\(\vec{b}=\vec{c}\)。
2.
甲、乙兩人參選形象大使，由\(n\)位委員不記名投票，每人都投了一票，且無人投廢票，開票採一一唱票方式，假設開票過程中任何時刻甲的得票數皆不低於乙的得票數，直至開票完成。設所有可能的開票過程有\(a_n\)種情形，例如：\(a_2=2\)(甲甲、甲乙，兩種可能過程)；\(a_3=3\)(甲甲甲、甲甲乙、甲乙甲，三種可能過程)。
(提示(Catalan number \(C_m\))：若甲乙各得\(m\)票，且在開票過程中，任何時刻甲的累計得票數皆不低於乙，則滿足此條件的開票順序共有\(\displaystyle C_m=\frac{1}{m+1}C_m^{2m}=C_m^{2m}-C_{m+1}^{2m}\)種。)
(1) 求\(a_5=\)？
(2) 請推證出\(a_n\)的一般表達式。
