114沙崙高中

114沙崙高中第一屆

一、選擇題
5.
方陣\(A=\left[\matrix{-2&-1\cr 1&0}\right]\)，若數列\(\{\;a_n \}\;,\{\;b_n \}\;\)滿足\(A^n=a_nA+b_nI\)，\(n\in \mathbb{N}\)，下列何者正確？
(A)\((A^2+A)\)有反方陣　(B)\(\{\;a_{2n} \}\;\)　(C)\(\{\;|\;b_n |\;\}\;\)是等差數列　(D)\(\{\;a_n-b_n \}\;\)是等比數列　(E)\(\{\;a_n^2-b_n^2\}\;\)是等差數列

二、非選題
2.
正六邊形\(ABCDEF\)被圍在以平行\(x\)軸與\(y\)軸為邊的矩形\(PQRS\)內，其中\(A(0,0),B(4,2)\)且矩形\(PQRS\)四邊各交此正六邊形於一點，求此矩形\(PQRS\)的面積為　　　。
(108年度全國科學班聯合學科資格考試，https://phsms.cloud.ncnu.edu.tw/ ... %AD%94%E6%A1%88.pdf)
連結有解答，https://chu246.blogspot.com/2022/03/108.html

4.
已知多項式\(f(x)\)滿足\(\displaystyle f(x)=4x^3+3x^2-2x[\int_1^2 f(x)dx]+3\)，試求\(\displaystyle \int_1^2 f(x)dx\)的值為　　　。

7.
\(x,y\)為實數，則\(\sqrt{(x-6)^2+(y-5)^2+(x+y-2)^2}+\sqrt{(x-8)^2+(y-2)^2+(x+y-1)^2}\)最小值為　　　。
我的教甄準備之路　兩根號的極值問題，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=3#pid22174

請教一下填充9和10，謝謝！！

填充第 9 題
在 5 個紅球的 6 個空隙中，平均插入 15 個白球，每個空隙是 5/2 個白球
取完 5 個紅球的期望次數是 20 - 5/2 = 35/2 次，要花 1750 元
但只能獲得 1500 元，故獲利期望值是 -250 元

9.5個節點切6份
抽數期望值=(15/6+1)*5=17.5
1500-1750=-250

10.猜對稱點取負,sinx=cosx=-1/sqrt2  (微分後sinx=cosx是顯然解)
2*1024^(-1/sqrt2)取對數約0.17-2

填10:
由算幾不等式得
1024^(sinx)+1024^(cosx)≧2√ [1024^(sinx+cosx)]
=2√ {1024^[√2(sin(x+π/4))]}
當sin(x+π/4)=-1,所求有最小值=2*1024^(-1/√ 2)=2^(1-5√2)
取以10為底的log, 約-1.827....= -2+0.173
m=1, n=-2

[ 本帖最後由 Ellipse 於 2025-5-13 20:49 編輯 ]

謝謝thepiano  cut6997  Ellipse老師！！