114香山高中

114香山

2.
試求極限\(\displaystyle \lim_{n\to\infty}\left(\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\frac{1}{n+3}+\ldots+\frac{1}{n+(n-1)}+\frac{1}{n+n}\right)\)之值為下列何者？
(A)\(ln2\)　(B)\(2ln2\)　(C)\(\displaystyle \frac{1}{2}\)　(D)1　(E)2

6.
試問\(log(tan1^{\circ})+log(tan2^{\circ})+log(tan3^{\circ})+\ldots+log(tan88^{\circ})+log(tan89^{\circ})\)之值為下列何者？
(A)\(-1\)　(B)\(\displaystyle -\frac{1}{2}\)　(C)0　(D)\(\displaystyle \frac{1}{2}\)　(E)1

7.
在\(\triangle ABC\)中，\(\overline{AB}=\overline{AC}=2\)，如果\(\overline{BC}\)邊上有100個相異的點\(P_1\)、\(P_2\)、\(\ldots\)、\(P_{100}\)，且設\(a_k=\overline{AP_k}^2+\overline{BP_k}\cdot \overline{P_kC}\)，其中\(k=1,2,\ldots,100\)，則\(a_1+a_2+a_3+\ldots+a_{100}\)之值為下列何者？
(A)100　(B)200　(C)300　(D)400　(E)600

\(\Delta ABC\)中，\(\overline{AB}=\overline{AC}=2\)，\(\overline{BC}\)邊上有100個相異點\(P_1,P_2,P_3,\ldots,P_{100}\)，若\(m_i=\overline{AP_i}^2+\overline{BP_i}\cdot \overline{CP_i}(i=1,2,\ldots,100)\)，則\(m_1+m_2+m_3+\ldots+m_{100}\)之值為何？
(113鳳新高中，連結有解答https://math.pro/db/viewthread.php?tid=3855&page=1#pid25995)

8.
試問\(cos^2 80^{\circ}+cos^2 160^{\circ}+cos80^{\circ}cos160^{\circ}\)之值為下列何者？
(A)\(\displaystyle \frac{1}{4}\)　(B)\(\displaystyle \frac{1}{3}\)　(C)\(\displaystyle \frac{3}{8}\)　(D)\(\displaystyle \frac{3}{4}\)　(E)\(\displaystyle \frac{5}{4}\)

二、多選題
4.
已知\(a,b,c,d\)為正整數，如果\(a^5=b^4,c^3=d^2\)，且\(c-a=19\)，則下列哪些選項是正確的？
(A)\(c=99\)　(B)\(b-a=162\)　(C)\(b-c=141\)　(D)\(d-a=919\)　(E)\(a+b-c=224\)

Assume that \(a,b,c\) and \(d\) are positive integers such that \(a^5=b^4,c^3=d^2\), and \(c-a=19\). Determine \(d-b\).
(1985AIME，連結有解答https://artofproblemsolving.com/ ... _Problems/Problem_7)

三、填充題
1.
已知正整數\(m,n\)滿足\(n=\sqrt{m-184}+\sqrt{m+24}\)，當\(n\)有最大值時，則\(m\)之值為　　　。

請問單選9

單選 9.
當 \(  x \approx 0 \) 且 \( x \neq 0 \) 時，

\( \frac{\sqrt{1+\tan x}-\sqrt{1+\sin x}}{x^{3}}=\frac{\sqrt{1+\tan x}-\sqrt{1+\sin x}}{x^{3}}\cdot\frac{\sqrt{1+\tan x}+\sqrt{1+\sin x}}{\sqrt{1+\tan x}+\sqrt{1+\sin x}} \)

故 \( \frac{\sqrt{1+\tan x}-\sqrt{1+\sin x}}{x^{3}}=\frac{\tan x-\sin x}{x^{3}(\sqrt{1+\tan x}+\sqrt{1+\sin x})}=\frac{\tan x-\sin x}{x^{3}}\cdot\frac{1}{\sqrt{1+\tan x}+\sqrt{1+\sin x}} = \frac{\sin x}{x\cos x}\cdot\frac{1-\cos x}{x^{2}}\cdot\frac{1}{\sqrt{1+\tan x}+\sqrt{1+\sin x}} \)

由羅必達法則或泰勒展開(級數)，易得 \( \displaystyle \lim_{x\to0}\frac{1-\cos x}{x^{2}}=\frac{1}{2} \)

再由極限運算性質，得所求為 \( 1 \times \frac12 \times \frac 12 = \frac14 \)

想請問多選1的B為什麼可以選?
p,q,r看起來應該是可以輪換的
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感謝鋼琴老師回覆

[ 本帖最後由 cut6997 於 2025-5-4 19:18 編輯 ]

多選 1
可以輪換沒錯，所以 B 不能選
官方答案有誤

謝謝寸絲老師回覆

多選第一題 BE 或 E 皆給分

weiye 註：更正版試題與答案檔，已改移到本文首篇，方便未來網友們討論。