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多項式與極限問題

多項式與極限問題

題目如附圖,想請教各位老師是否可以用遞迴的方式處理呢?
感謝各位老師

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2024-4-1 20:26

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回覆 1# tian 的帖子

可以將式子進行變形 (把減掉的部分移到等號右邊想成等比級數)得到方程式x^(n+1)-2x^n+1=0
接著可以發現alpha_n是遞增的 (上界是2),因此透過單調有界定理得知數列會收斂。
極限值感覺是2,但是可能要再想一下要怎麼嚴格說明,晚點想到繼續回覆~

更新:可以考慮2-1/n,透過中間值定理可以發現根會落在2-1/n和2之間  (需要用二項式定理估計一下)

原本提問時提到的遞迴我沒有很懂,所以分享了自己的做法 (但比較需要對微積分的估計比較敏感),如果提問的老師如果是想討論自己的做法可以稍微提一下想法,或是寫出一些初步的想法,後續可以再討論看看~

[ 本帖最後由 小超人Mo 於 2024-4-2 12:41 編輯 ]

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老師你好!
我是這樣做的,但不太確定如何嚴格說明

[ 本帖最後由 tian 於 2024-4-2 13:52 編輯 ]

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2024-4-2 13:52

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回覆 3# tian 的帖子

證明存在性的部分沒有問題,可是你寫的方式出了一個(還蠻常見的)問題:數列遞增有上界會收斂,但是「不一定會收斂到你挑的那個上界」,除非你可以證明那個上界是「最小上界」。
以這題來說,題目告訴我們上界是2,那3一定也是這個數列的上界,但很顯然這個數列並不會收斂到3。
因此需要進一步說明這個數列真的會收斂到2 (而不是1和2中間的另一個數)

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對啊~我不知該怎麼找到最小上界的方法
感謝老師提供用中間值定理的方法!

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回覆 3# tian 的帖子

圖片的第 7 行、第 8 行,正負號(加減)有點奇怪,兩行的推理 (=>) 看起來都不正確
網頁方程式編輯 imatheq

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