112嘉義女中

9.
設\(f(x)\)為三次多項式函數，其圖形通過\((1,2)\)、\((5,8)\)、\((9,11)\)，則\(\displaystyle \int_1^9f(x)dx\)之值為　　　。

12.
設\(a\)為實數，已知兩函數\(\displaystyle f(x)=4x^2-3ax+4\int_0^1 (t\cdot f(t))dt\)與\(\displaystyle g(x)=x^2+4x+a-\int_0^x ((t+1)\cdot g'(t))dt\)。若\(f(x)-x\cdot g(x)=0\)有兩相異實數根\(\alpha\)與\(\beta\)，其中\(\alpha<\beta\)，則\(\displaystyle \frac{1}{\beta-\alpha}\int_{\alpha}^{\beta}(3x^2-2ax+a^2)dx\)之最小值為　　　。

第 9、12 題
http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?p=33774#p33774

第 14 題
已知梯形\(ABCD\)中，\(\overline{AD}=5\)，\(\overline{BC}=10\)，且\(\overline{AD}//\overline{BC}\)，\(\angle DC=120^{\circ}\)。若梯形\(ABCD\)有一個內切圓(與四個邊都相切的圓)，則梯\(ABCD\)的面積為　　　。
[解答]
內切圓圓 O 和 AD、BC 分別切於 E、F
令 DE = x
OE = OF = √3x，CF = 3x
AE = 5 - x，BF = 10 - 3x
利用 △AEO 和 △OFB 相似，可求出 x = 2
梯形 ABCD 的高 EF = 4√3，面積為 30√3

想請教第1、5、8題，謝謝各位老師們。

第 1 題
神童如風參加心算比賽的電視節目錄影，裁判亮出題目，觀眾只理解到題目是求\(\root 15 \of{ 15,□□□,□□□,□□□,□□□,□□□}\)這個開根號的數時(方框代表觀眾來不及記憶的數字)，說時遲，那時快，如風只花了15秒就算出這個複雜的根式是一個正整數\(k\)，並經裁判確認正確。請問正整數\(k=\)　　　。
[解答]
根號裡是 17 位數
10^15 是 16 位數
11^15 也是 16 位數

15log12 = 16.1865
12^15 是 17 位數，首位是 1


第 5 題
小美每天早上起床後必先完成洗臉、刷牙、穿衣服、穿裙子、戴隱形眼鏡和吃早餐等六件事情，其中洗臉後才能戴隱形眼鏡，刷牙和洗臉後才會吃早餐，例如：洗臉→穿衣服→穿裙子→刷牙→戴隱形眼鏡→吃早餐。請問小美完成這六件事情，依前後順序的不同，共有　　　種方法。
[解答]
先排洗臉、戴眼鏡、刷牙、吃早餐

有以下 5 種情形
洗臉、刷牙、吃早餐、戴眼鏡
刷牙、洗臉、吃早餐、戴眼鏡

洗臉、戴眼鏡、刷牙、吃早餐
洗臉、刷牙、戴眼鏡、吃早餐
刷牙、洗臉、戴眼鏡、吃早餐

剩下兩個插空隙
所求 = 5 * H(5，2) * 2


第 8 題
設\(A(\alpha)\)、\(B(\beta)\)、\(C(\gamma)\)為複數平面上不共線的三點，都不在實軸上，\(\alpha\)、\(\beta\)、\(\gamma\)皆不為零，若\(\overline{AC}=4\)且\(\alpha^2+4\beta^2+5\gamma^2=2\gamma(\alpha+4\beta)=\)　　　。
[解答]
α^2 + 4β^2 + 5γ^2 = 2γ(α + 4β)
(α - γ)^2 = -4(β - γ)^2
α - γ = ±2i(β - γ)
AC 和 BC 垂直

AC = |α - γ| = |±2i(β - γ)| = 2|β - γ| = 2BC
BC = 2

AB = 2√5