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想詢問109台中一中數資的考題

想詢問109台中一中數資的考題

想詢問各位老師12和16題,感謝指導~~

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109-數理資優試題卷-數學_公告版_.pdf (471.26 KB)

2023-1-13 10:47, 下載次數: 107

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12. 考慮(32+0.5)^n+(32-0.5)^n

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12.有錯還請指教
\(\displaystyle (32+\frac{1}{2})^n+(32-\frac{1}{2})^n\),易知\(n\)為奇數
利用二項式定理化簡展開
可得\(\displaystyle 2\cdot 32^n +2\ C^n_{2} (\frac{1}{2})^2 \cdot 32^{n-2}+\cdots +2\ C^n_{n-1} (\frac{1}{2})^{n-1} \cdot 32\)

可知\(\displaystyle 2\times (\frac{1}{2})^{n-1} \cdot 32 \in \mathbb{N} \Rightarrow n-1<6 \Rightarrow n<7 \)
取\(n=1,3,5\),總和9

1/17 更正
感謝cut6997老師的指正

[ 本帖最後由 satsuki931000 於 2023-1-17 09:53 編輯 ]

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16.
令\(\displaystyle A=\sqrt{2x^2+x+5}, B=\sqrt{x^2+x+1}\)
原式=\(\displaystyle A+B=\sqrt{4A^2-7B^2}\)
\(\Rightarrow \displaystyle 3A^2-2AB-8B^2=0\)
\(\Rightarrow  \displaystyle (3A+4B)(A-2B)=0\)
\(\Rightarrow  \displaystyle A=2B \ or   A=\frac{4}{-3}B\) (後者不合)
利用\(\displaystyle A=2B \Rightarrow 2x^2+x+5=4x^2+4x+4 \Rightarrow 2x^2+3x-1=0\)
所求兩實根和為\(\displaystyle \frac{-3}{2}\)

[ 本帖最後由 satsuki931000 於 2023-1-13 19:39 編輯 ]

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回覆 3# satsuki931000 的帖子

尾項應是 2C(n,1)*0.5^(n-1)*32,得n=7

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